dwa zadania czworokąty

[crybe]

1) W czworokącie cyklicznym poprowadzono dwusieczne dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych, które przecieły okrąg opisany na tym czworokącie w punktach X i Y. Udowodnić, że odcinek XY jest średnicą okręgu.
2) Boki czworokąta mają długości kolejno a,b,c,d. Jeśli na tym czworokącie można opisać okrąg oraz można w niego wpisać okrąg, udowodnić, że cosinus kąta pomiędzy a i b wynosi \( \frac{ab-cd}{ab+cd}\). Próbowałem tu skorzystać podwójnie z tw. cosinusów, jednak nie wychodzi tak jak powinno.
Dziękuje!

[Jerry]

1) W czworokącie cyklicznym poprowadzono dwusieczne dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych, które przecieły okrąg opisany na tym czworokącie w punktach X i Y. Udowodnić, że odcinek XY jest średnicą okręgu.

Przyjmijmy (zrób schludny rysunek) oznaczenia standardowe, niech \(\overline{CY}, \ \overline{AX}\) zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych. Wtedy:

1. \(|\angle YAB|\nad{\color{red}{*}}{=}|\angle YCB|={\gamma\over2}\)
2. \(|\angle YAX|={\alpha\over2}+{\gamma\over2}\nad{\color{blue}{**}}{=}90^\circ\)
   co jest równoważne tezie zadania.

*: z tw. o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku
**: z warunku opisania okręgu na czworokącie wypukłym: \(\alpha+\gamma=180^\circ\)

Pozdrawiam

[Jerry]

2) Boki czworokąta mają długości kolejno a,b,c,d. Jeśli na tym czworokącie można opisać okrąg oraz można w niego wpisać okrąg, udowodnić, że cosinus kąta pomiędzy a i b wynosi \( \frac{ab-cd}{ab+cd}\). Próbowałem tu skorzystać podwójnie z tw. cosinusów...

I rzeczywiście, zachodzi (przy oznaczeniach standardowych):
\[a^2+b^2-2ab\cos\beta=c^2+d^2-2cd\cdot(-\cos\beta)\\
\cos\beta=\frac{a^2-c^2+b^2-d^2}{2(ab+cd)}=\\
=\frac{(a-c)\color{green}{(a+c)}+(b-d)\color{green}{(b+d)}}{2(ab+cd)}\nad{\color{red}{*}}{=}\\
\nad{\color{red}{*}}{=}\frac{(a-c)\color{green}{(b+d)}+(b-d)\color{green}{(a+c)}}{2(ab+cd)}=\ldots\\
\ldots=\frac{2ab-2cd}{2(ab+cd)}=\frac{ab-cd}{ab+cd}\quad \text{CKD}.\]
*: z warunku wpisania okręgu w czworokąt - zamieniłem miejscami zielone nawiasy.

Pozdrawiam