Granica funkcji wielu zmiennych

[suriin]

Dzień dobry,
ostatnio na matematyce trafił mi się poniższy przykład:

\(\Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\)

granica powinna wyjść zero, natomiast mi, po podstawieniu pod x i y \((1/n,1/n)\) oraz \((1/n,-1/n)\) wychodzą dwie różne granice, z czego chyba wynika że granicy brak w pkt. 0,0. Pani doktor pokazała jeden sposób z modułami na rozwiązanie tego (z użyciem tw. o trzech ciągach). Zaznaczyła jednak że on działa tylko wtedy, kiedy wiemy że granica jest równa zero i mamy to udowodnić. No a co jeśli takowej informacji nie mamy? Mógłby ktoś bardziej obeznany w temacie podpowiedzieć jak się z takim czymś uporać?

Z góry dziękuję za odpowiedzi i pozdrawiam,
Suri

[Jerry]

Jeżeli \(y=kx\), gdzie \(k\in\rr\), to
\[\Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{kx}{1 + k^2}=0\]
i Twój kontrprzykład jest nieskuteczny.

Pozdrawiam

[janusz55]

Albo

\( x = r\cos(\phi), \ y = r\sin(\phi). \)

\( \Lim_{(x, y)\to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{r\to 0} \frac{r^3\sin(\phi)\cos^2(\phi)}{r^2} = \Lim_{r\to 0} r\sin(\phi)\cos^2(\phi) = 0.\)

Albo

\(( x, \ \ y)= \left( \frac{1}{n}, \ \ \frac{1}{n} \right) \)

\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{1}{2n} = 0 \)

Albo

\(( x, \ \ y)= \left( -\frac{1}{n}, \ \ \frac{1}{n}\right) \)

\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{-\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{-1}{2n} = 0 \)

Albo

\(( x, \ \ y)= \left( \frac{1}{n}, \ \ -\frac{1}{n}\right) \)

\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{-\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{-1}{2n} = 0 \)

[suriin]

Dziękuję Państwu bardzo. Źle zrozumiałam temat, ale już widzę swój błąd.

Pozdrawiam!