Równania boków trójkąta

[Kamil132111]

Dane są dwa wierzchołki trójkąta A = (1, 3), B = (−1, 5) oraz punkt D = (2, 3),będący punktem przecięcia wysokości trójkąta. Równania boków tego trójkąta wynoszą:

[janusz55]

Piszemy równanie prostej \( AB. \)

Piszemy równanie prostej k - prostopadłej do \( AB \) i przechodzącej przez punkt \( D.\)

Piszemy równanie prostej \( AD.\)

Następnie równanie prostej l - prostopadłej do prostej \( AD \) i przechodzącej przez punkt \( B. \)

Mamy równania prostych \( AB , BC \) zawierających boki trójkąta \( ABC.\)

Znajdujemy punkt przecięcia prostych k, l, który jest wierzchołkiem \( C \) trójkąta \( ABC.\)

Piszemy równanie pozostałej prostej \( AC \) na której leży bok \( AC \) trójkąta.

[janusz55]

ROZWIĄZANIE
Równanie prostej \( AB \) łączącej punkty \( A(1,3), \ \ B(-1, 5)\)

\( AB: \ \ y = \frac{5-3}{-1-1}(x-1) +3 = \frac{2}{-2}(x-1) +3 = -(x-1)+3=-x +1 +3 = -x+4.\)

Równanie prostej \( AD \) łączącej punkty \( A(1,3), \ \ D(2,3) \)

\( AD: \ \ y = \frac{3-3}{2-1}(x-1) + 3 = 0(x-1) + 3 = 3.\)

Równanie prostej \( BD \) łączącej punkty \( B(-1,5),\ \ D(2,3) \)

\(BD: \ \ y = \frac{3-5}{2+1}(x+1) +5 = -\frac{2}{3}(x+1) +5 = -\frac{2}{3}x -\frac{2}{3} + \frac{15}{3} = -\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}.\)

Równanie prostej \( BC \) - prostopadłej do prostej \( AD \) i przechodzącej przez punkt \( B(-1,5)\)

\( BC: \ \ x = -1. \)

Równanie prostej \( AC \) prostopadłej do prostej \( BD\) i przechodzącej przez punkt \( A \)

\( AC: y = \frac{3}{2}x + c \)

\( 3 = \frac{3}{2}\cdot 1 +c \)

\( 3 = \frac{3}{2} + c \)

\( c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}.\)

\( AC: \ \ y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \)

Współrzędne wierzchołka \( C \)

\( C: \begin{cases} x= -1 \\ y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x = -1 \\ y = \frac{3}{2}\cdot (-1) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0 \end{cases} \)

Odpowiedź Równania prostych zawierających boki trójkąta:

\( AB: \ \ y = -x + 4, \ \ BC: \ \ x = -1. \ \ AC: \ \ y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}. \)

Proszę wykonać rysunek w układzie współrzędnych \( Oxy \) z wykresami prostych przecinających się w wierzchołkach trójkąta ABC.

[Jerry]

Albo:
\(\begin{cases}\vec{AD}=[1,0]=\vec{N_a}\\B(-1,5)\in a\end{cases}\So a:1\cdot(x+1)+0\cdot(y-5)=0\\
\begin{cases}\vec{BD}=[3,-2]=\vec{N_b}\\A(1,3)\in b\end{cases}\So b:3\cdot(x-1)-2\cdot(y-3)=0\\
\begin{cases}\vec{AB}=[-2,2]=\vec{v_c}\\A(1,3)\in c\end{cases}\So c:\begin{cases}x=1-2t\\y=3+2t\end{cases}\wedge t\in\rr\So c: x+y=4\)
Pozdrawiam

[janusz55]

Równanie prostej \( AB: \)

Wektor kierunkowy \( \vec{a} = [-1 -1, \ \ 5-3] = [-2,\ \ 2] \)

\( AB: \begin{cases} x = 1 -2t \\ y = 3 +2t \\ t\in \rr \end{cases} \)

\( AB: \frac{x-1}{-2} = \frac{y-3}{2} \)

Równanie prostej \( BD: \)

Wektor kierunkowy \( \vec{b} = [ 2 + 1, \ \ 3-5] = [ 3, \ \ -2] \)

\( BD: \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = 5 -2t \\ t\in \rr. \end{cases} \)

\( BD: \frac{x+1}{3} = \frac{y-5}{-2} \)

Równanie prostej \( AD \)

Wektor kierunkowy \( \vec{d} = [ 2-1 , \ \ 3 -3] = [ 1, \ \ 0].\)

\( AD: \begin{cases} x = 1 +t \\ y = 3 + 0t \\ t\in \rr. \end{cases} \)

\( AD: \frac{x-1}{1} = \frac{y -3}{0} \)

Równanie prostej \( BC \) - prostpadłej do prostej \( AD \) i przechodzącej przez punkt \( B\)

Wektor kierunkowy \(\vec{e} \) tej prostej musi być prostopadły do wektora kierunkowego \( \vec{d} = [1, \ \ 0] \)

\( \vec{e} = [0, \ \ 1], \) bo \( \vec{e}\cdot \vec{d} = [ 1,\ \ 0]\cdot [ 0, \ \ 1] = (1)\cdot (0)+ 0\cdot 1 = 0.\)

\( BC: \begin{cases} x = -1 + 0t \\ y = 5 + t \\ t\in \rr. \end{cases} \)


Równanie prostej \( CD \) - prostopadłej do prostej \( BD \) i przechodzącej przez punkt \( D\)

Wektor kierunkowy \(\vec{f} \) tej prostej musi być prostopadły do wektora kierunkowego \( \vec{b} = [3, \ \ -2] \)

\( \vec{f} = [ 2, \ \ 3], \) bo \( \vec{b}\cdot \vec{f} = [3, \ \ -2]\cdot [2, \ \ 3] = 3\cdot 2 + (-2)\cdot 3 = 6 -6 = 0.\)

\( CD: \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 3 + 3t \\ t\in \rr \end{cases} \)

\( CD: \frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{3} \)

Punkt \( C \) jest punktem przecięcia się prostych \( BC \) i \(AC\)

\( BC: \begin{cases} x = -1 \\ y = 5 + t \\ t\in \rr \end{cases} \)

\( AC: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 3t \\ t\in \rr.\end{cases} \)

Podstawiając \( x= -1 \) do równania \( x = 1+2t \) otrzymujemy \( t = -1. \)

Kładąc \( t = -1 \) w równaniu \( y = 3 + 3t\) otrzymujemy \( y = 0. \)

Punkt \( C \) ma współrzędne \( (-1, \ \ 0) \)

Odpowiedź: równania parametryczne prostych zawierających boki trójkąta \( ABC \)

\( AB: \begin{cases} x = 1 -2t \\ y = 3 +2t \\ t\in \rr. \end{cases}, \)

\( BC: \begin{cases} x = -1 \\ y = 5 + t \\ t\in \rr \end{cases}, \)

\( AC: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 3t \\ t\in \rr.\end{cases}. \)