1) Niech \(𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.7, 𝑃(𝐴|𝐵′) = 0.6\). Oblicz \(𝑃(𝐵)\) .
2) Niech \(𝐴_1, 𝐴_2, 𝐴_3, 𝐴_4, 𝐴_5\), 𝐴6 będą łącznie niezależnymi zdarzeniami takimi, że
\(𝑃(𝐴𝑗) =\frac{1}{𝑗+1}\) dla \(j = 1,…,5\).
Oblicz \(𝑃((𝐴_1 − (𝐴_2 ∪ 𝐴_3 ∪ 𝐴_4 ∪ 𝐴_5 ))|𝐴_6)\).
Prawdopodobieństwo zdarzeń
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń
Zadanie 1
\( P(A\cup B) = P(A) + P(B)- P(A\cap B) \ \ (1) \)
\( P(A| B') = \frac{ P(A\cap B')}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A\cap B)}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A\cap B)}{1 - P(B)}\)
Stąd
\( P(A) - P(A\cap B) = P(A|B')( 1- P(B)) \ \ (2) \)
Podstawiamy (2) do równania do (1)
\( P(A\cup B) =(1-P(B)) \cdot P(A| B') + P(B) \)
\(0,7 = (1 - P(B))0,6 + P(B) \)
\( 0,7 = 0,6 -0,6P(B) + P(B) \)
\( 0,7 = 0,6 + 0,4P(B) \)
\( P(B) = \frac{0,7 -0,6}{0,4} = \frac{0,1}{0,4} = 0,25.\)
Zadanie 2
Proszę przepisać czytelnie.
\( P(A\cup B) = P(A) + P(B)- P(A\cap B) \ \ (1) \)
\( P(A| B') = \frac{ P(A\cap B')}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A\cap B)}{P(B')} = \frac{P(A) - P(A\cap B)}{1 - P(B)}\)
Stąd
\( P(A) - P(A\cap B) = P(A|B')( 1- P(B)) \ \ (2) \)
Podstawiamy (2) do równania do (1)
\( P(A\cup B) =(1-P(B)) \cdot P(A| B') + P(B) \)
\(0,7 = (1 - P(B))0,6 + P(B) \)
\( 0,7 = 0,6 -0,6P(B) + P(B) \)
\( 0,7 = 0,6 + 0,4P(B) \)
\( P(B) = \frac{0,7 -0,6}{0,4} = \frac{0,1}{0,4} = 0,25.\)
Zadanie 2
Proszę przepisać czytelnie.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Prawdopodobieństwo zdarzeń
Zadanie 2
\( P(A_{1})= \frac{1}{2}, \ \ P(A_{2}) = \frac{1}{3}, \ \ P(A_{3}) = \frac{1}{4}, \ \ P(A_{4}) = \frac{1}{5}, \ \ P(A_{5}) = \frac{1}{6}, \ \ P(A_{6}) = \frac{1}{7}.\)
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego, łącznej niezależności zdarzeń i rozdzielności iloczynu zdarzeń względem sumy:
\( P((A_{1}- (A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5})|A_{6})) = \frac{P((A_{1}- (A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}))\cap A_{6}))}{P(A_{6})}= \frac{P(A_{1}\cap A_{6}) -P(A_{2}\cap A_{6}) + P(A_{3}\cap A_{6}) + P(A_{4}\cap A_{6}) +P(A_{5}\cap A_{6})}{P(A_{6})} = \)
\( = \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7} - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{7}+ \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{7}+ \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{7}}{\frac{1}{7}}= \frac{\frac{1}{14} - \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{35}+\frac{1}{42}}{\frac{1}{7}} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6} = \frac{30 -20 +15 +12 + 10}{60} = \frac{47}{60}.\)
\( P(A_{1})= \frac{1}{2}, \ \ P(A_{2}) = \frac{1}{3}, \ \ P(A_{3}) = \frac{1}{4}, \ \ P(A_{4}) = \frac{1}{5}, \ \ P(A_{5}) = \frac{1}{6}, \ \ P(A_{6}) = \frac{1}{7}.\)
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego, łącznej niezależności zdarzeń i rozdzielności iloczynu zdarzeń względem sumy:
\( P((A_{1}- (A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5})|A_{6})) = \frac{P((A_{1}- (A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\cup A_{5}))\cap A_{6}))}{P(A_{6})}= \frac{P(A_{1}\cap A_{6}) -P(A_{2}\cap A_{6}) + P(A_{3}\cap A_{6}) + P(A_{4}\cap A_{6}) +P(A_{5}\cap A_{6})}{P(A_{6})} = \)
\( = \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7} - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{7}+ \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{7}+ \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{7}}{\frac{1}{7}}= \frac{\frac{1}{14} - \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{35}+\frac{1}{42}}{\frac{1}{7}} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6} = \frac{30 -20 +15 +12 + 10}{60} = \frac{47}{60}.\)