całka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: całka
\( \int \frac{2x^3}{x^2+1} dx \)
Dzielimy licznik przez mianownik funkcji pod całką
\( 2x^3 : (x^2+1) = 2x - \frac{2x}{x^2+1} \)
\( \int \frac{2x^3}{x^2+1}dx = \int\left( 2x - \frac{2x}{x^2+1}\right)dx = \int 2x dx - \int \frac{2x}{x^2+1}dx = \frac{2x^2}{2} - \ln(x^2+1) + C = x^2 -\ln(x^2+1) + C. \)
Możemy sobie sprawdzić kalkulatorem, czy poprawnie obliczyliśmy całkę?
A najlepiej obliczyć pochodną funkcji pierwotnej , którą otrzymaliśmy, tym bardziej, że nie jest ona funkcją złożoną:
\( \left( x^2 - \ln(x^2+1) + C \right)' = 2x - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{2x^3}{x^2+1}. \)
Dzielimy licznik przez mianownik funkcji pod całką
\( 2x^3 : (x^2+1) = 2x - \frac{2x}{x^2+1} \)
\( \int \frac{2x^3}{x^2+1}dx = \int\left( 2x - \frac{2x}{x^2+1}\right)dx = \int 2x dx - \int \frac{2x}{x^2+1}dx = \frac{2x^2}{2} - \ln(x^2+1) + C = x^2 -\ln(x^2+1) + C. \)
Możemy sobie sprawdzić kalkulatorem, czy poprawnie obliczyliśmy całkę?
A najlepiej obliczyć pochodną funkcji pierwotnej , którą otrzymaliśmy, tym bardziej, że nie jest ona funkcją złożoną:
\( \left( x^2 - \ln(x^2+1) + C \right)' = 2x - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{2x^3}{x^2+1}. \)