forum.zadania.info

W kwadrat o polu równym 2 wpisano prostokąt o polu z tak, że każdy wierzchołek tego
prostokąta należy do innego boku kwadratu. Udowodnić, że 1 ≤ z < 2 , kiedy wpisany
prostokąt jest kwadratem

1. Wpisywane prostokąty mają oś symetrii zawierającą przekątną danego kwadratu. Wtedy pole takiego prostokąta \(z\in(0;1]\) i jednym z nich jest kwadrat o polu \(z=1\)
2. Jeśli wpisujemy kwadraty, to dany kwadrat (zrób schludny rysunek) wypełnia ten kwadrat i cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(x,\ \sqrt2-x\), gdzie \(x\in(0;\sqrt2)\). Wtedy pole kwadratu opisuje funkcja
   \[z=f(x)=2-4\cdot {1\over2}\cdot x\cdot(\sqrt2-x)=2\left(x-{\sqrt2\over2}\right)^2+1\]
   określona na \(D=(0;\sqrt2)\). Zbiorem jej wartości jest
   \[z\in[1;2)\\ \text{CKD}\]

Pozdrawiam