Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych.

[kuba1337]

proszę o wytłumaczenie tego zadania

\(z^6=(2-3i)^6\)

[Jerry]

Możesz wykorzystać:
\[a^6-b^6=(a^3-b^3)(a^3+b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)=\\
=(a-b)\left[\left(a+{1\over2}b\right)^2+{3\over4}b^2\right](a+b)\left[\left(a-{1\over2}b\right)^2+{3\over4}b^2\right]=\\=
(a-b)\left(a+{1\over2}b-{\sqrt3i\over2}b\right)\left(a+{1\over2}b+{\sqrt3i\over2}b\right)(a+b)\left(a-{1\over2}b-{\sqrt3i\over2}b\right)\left(a-{1\over2}b+{\sqrt3i\over2}b\right)\]
Pozdrawiam

[kerajs]

\(
z=(2-i3) \sqrt[6]{1} \\
\\
z_0=(2-i3) \cdot 1 \\
z_1=(2-i3) \cdot ( \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \\
z_2=(2-i3) \cdot ( \frac{-1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \\
z_3=(2-i3) \cdot (-1) \\
z_4=(2-i3) \cdot ( \frac{-1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \\
z_5=(2-i3) \cdot ( \frac{1}{2}-i \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \\\)

[janusz55]

Można też użyć postaci wykładniczej (biegunowej) liczby zespolonej \( z \), korzystając z twierdzenia,

dla liczby zespolonej \( z \neq 0 \) istnieje \( n \) różnych pierwiastków stopnia \( n \) z liczby \( z.\)
Jeśli \( z = re^{i\phi} \), to pierwiastki \( z \) są postaci \( z_{k} = z_{0}\varepsilon_{k} \) gdzie, \( z_{0} = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\phi}{n}}\) a \( \varepsilon_{k} \) są pierwiastkami stopnia \( n=1, \ \ \varepsilon_{k} = e^{\frac{2\pi}{n}k i} \) dla \( k = 0,1, \ \ ... ,k-1.\)