największa suma

[anilewe_MM]

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o wyrazie ogólnym \(a_n =72\sqrt2 – 9n\ (n \in ℕ_+)\). Oblicz, dla jakiego n suma n początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest największa.
Wierzchołek paraboli ma nienaturalną pierwszą współrzędną

[janusz55]

Ze wzoru na n-tą sumę ciągu arytmetycznego

\( S(n) = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}\cdot n = \frac{72\sqrt{2} - 9 + 72\sqrt{2}- 9n}{2}\cdot n =\frac{144\sqrt{2} -9n -9}{2}\cdot n, \) znajdujemy część całkowitą współrzędnej wierzchołka dwumianu kwadratowego:

\( d(n) = -9n^2 +(144\sqrt{2} -9) n.\)

[Icanseepeace]

Ciąg jest malejący, więc suma będzie największa gdy zsumujemy wszystkie wyrazy dodatnie.
\( a_n > 0 \So n \leq 11 \)
\( n = 11 \)

[janusz55]

Ma Pani rację. Odejmujemy wielokrotność liczby 9.

\( 72\sqrt{2} -9n >0 \)

\( n< 8\sqrt{2} = 11,314 \)

\( n = 11.\)

[Jerry]

Wierzchołek paraboli ma nienaturalną pierwszą współrzędną

Wykres interesujących nas sum to punkty należące do wykresu ciągłej funkcji
\(y=f(x)=-{9\over2}x^2+{144\sqrt2-9\over2}x\) określonej dla \(x\in[1;+\infty)\).
Rzeczywiście
\(x_W=p={144\sqrt2-9\over18}\approx10,8\)
nie jest naturalny. Wg mnie wystarczy sprawdzić, która wartość \(f(10)\) czy \(f(11)\) jest większa i sformułować odpowiedź.

Pozdrawiam
PS. Wskazówka Icanseepeace jest bardzo trafna, ale mało "szkolna"

[janusz55]

Kiedy metoda rozwiązania zadania jest szkolna ? Jest jakieś kryterium (skala) dla której jedna metoda jest szkolna a inna nie?

Myślę, że to jest Twoje własne odczucie.

[Jerry]

Statystyczny uczeń rozwiązuje zadania szablonowo. Takim szablonem jest poszukiwanie wierzchołka paraboli w zadaniach optymalizacyjnych na poziomie podstawowym. I to jest, wg mnie, metoda "szkolna".

Miłego dnia