Równania różniczkowe zwyczajne zupełne i niezupełne.

[janusz55]

Zajmujemy się równaniami \( P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0. \)

W interpretacji geometrycznej, jeżeli \( P(x,y),\ \ Q(x,y) \) są funkcjami ciągłymi w pewnym płaskim obszarze \( D \) takimi, że \( |P(x,y)|+ |Q(x,|>0 \) dla każdego \( (x,y)\in D, \) to kazdemu punktowi \( (x,y) \in D \) możemy przyporządkować wektor \( \vec{F}(x,y) = [ P(x,y), \ \ Q(x,y)]. \)

Funkcję \( \vec{F}(x,y) \) nazywamy polem wektorowym.

Rozważamy następujące zagadnienie: znaleźć krzywą \( K \) leżącą w obszarze \( D \), normalną w każdym swoim punkcie \( (x,y) \) do wektora \( \vec{F}(x,y).\)

Zagadnienie to zapisujemy symbolicznie w postaci

\( P(x,y)dx + Q(x,y) dy = 0 \ \ (1) \)

Zapis \( (1) \) można uzasadnić nastepująco: współczynnik kątowy vektora \( F\) wynosi \( \frac{Q}{P}, \) a współczynnik kątowy stycznej do krzywej \( K \) wynosi \( \frac{dy}{dx}. \)

Warunek prostopadłości \( K \) do \( \vec{F} \) ma więć postać: \( \frac{dy}{dx} = - \frac{P}{Q}.\)

Krzywa \( K = \{(x,y)\in D: \ \ V(x,y) = C, \) gdzie \( C \) jest daną liczbą a \( V(x,y) \) funkcją klasy \( C^{1}\) w obszarze \( D \) taką, że \( |V'_{x}(x,y)| + |V'_{y}(x,y)|>0 \) dla każdego \( (x,y)\in D.\)

Stąd wynika, że krzywa \( K \) jest rozwiązaniem równania \( (1) \) wtedy i tylko wtedy, gdy wektory \( [V'_{x}(x,y), \ \ V'_{y}(x,y)] \) i \( \vec{F}(x,y) \) są do siebie równoległe.

Co to oznacza? To oznacza, że istnieje ciągła funkcja \( \mu(x,y) \neq 0 \) taka, że

\( \begin{cases} V'_{x}(x,y) = \mu(x,y)\cdot P(x,y) \\ V'_{y}(x,y) = \mu(x,y)\cdot Q(x,y) \end{cases} \ \ (2) \)

Funkcję \( \mu(x,y) \) nazywamy czynnikiem całkującym równania \( (1).\)

Znajomość funkcji \( \mu(x,y) \) jest konieczna do wyznaczenia funkcji \( V(x,y). \)

Znając funkcję \( V(x,y) \) spełniającą warunek \( (2) \) możemy znaleźć krzywą całkową równania \( (1)\) przechodzącą przez dany punkt \( K = \{ (x,y)\in D: \ \ V(x,y) = V(x_{0}, y_{0}) \}.\)

Przykład 1

Proszę znaleźć krzywą całkową równania \( x dx + ydy = 0 \) przechodzącą przez punkt \( (2,3).\)

Równanie możemy rozwiązać w obszarze \( D \in \rr^2 \) z wyłączeniem punktu \((0, 0), \) bo nie spełniony jest w tym punkcie warunek
\( |P(x,y)| + |Q(x,y)| > 0 \)

Warunek \( (2) \) przybiera postać

\( \begin{cases} V'_{x}(x,y) \mu(x,y)\cdot x \\ V'_{y}(x,y) = \mu(x,y)\cdot y \end{cases} \)

Łatwo zgadnąć, że \( \mu(x,y) \equiv 1 \)

Całkujemy pierwsze równanie względem zmiennej \( x \)

\( V(x,y) = \int V'_{x}(x,y)dx = \int xdx = \frac{x^2}{2} + f(y) \ \ (3) \)

Z równania drugiego \( V'_{y}(x,y) = y = f'(y), \)

Stąd

\( f(y) = \int y dy = \frac{y^2}{2} + A \)

Podstawiamy \( f(y) \) do \( (3) \)

\( V(x,y) = \frac{x^2 +y^2}{2} + A \)

Rozwiązaniem równania są okręgi

\( \frac{1}{2}(x^2 +y^2) = C\)

Wybieramy okrąg przechodzący przez punkt \( (2,3) \)

\( x^2 + y^2 = \frac{13}{2}.\)

Przykład 2

ciąg dalszy nastąpi

[janusz55]

Rozważmy równanie

\( f(x)dx + g(y)dy = 0 \)

Funkcje \( f(x), \ \ g(y) \) są danymi funkcjami ciągłymi w przedziałach \( a < x <b, \ \ c < y < d.\)

Równanie to możemy rozważać w obszarze \( D, \) który powstanie ze zbioru

\( \{ f(x.y): \ \ a< x < b, \ \ c <y < d \} \) po usunięciu punktów \( (x,y) \) takich, że \( f(x)= f(y) = 0.\)

Warunek \( (2) \) ma postać

\( \begin{cases} V'_{x}(x,y) = \mu(x,y)\cdot f(x) \\ V'_{y}(x,y) = \mu(x,y) \cdot g(y) \end{cases} \)

Możemy przyjąć \( \mu(x,y) \equiv 1 \)

\( V(x,y) = \int_{x_{0}}^{x} f(u)du + \int_{y_{0}}^{y} g(u) du \)

Stąd wynika, że krzywą całkową przechodzącą przez punkt \( (x_{0}, y_{0})\in D \) jest krzywa \( V(x,y) = 0. \)

Znajdziemy warunek konieczny, jaki musi spełniać czynnik całkujący \( \mu(x,y) \) równania \( (1) \)

Załóżmy dodatkowo, że funkcje \( P(x,y), \ \ Q(x,y) \) oraz czynnik całkujący \( \mu(x,y) \) są klasy \( C^{1} \) w obszarze \( D.\)

Z warunku \( (2) \)

\( \begin{cases} V^{''}_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial{y}} [\mu(x,y) \cdot P(x,y)] \\ V^{''}_{xy}(y,x) = \frac{\partial}{\partial{x}} [\mu(x,y) \cdot Q(x,y)] \end{cases} \)

Ponieważ na mocy twierdzenia L. Szwarza \( V^{''}_{x,y}(x,y) = V^{''}_{yx}(x,y) \) więc

\( \frac{\partial}{\partial y}[\mu(x,y)P(x,y)] = \frac{\partial}{\partial x}[\mu(x,y)Q(x,y)] \) czyli

\( Q(x,y)\cdot \mu'_{x}(x,y) - P(x,y)\cdot \mu'_{y}(x,y) = [F'_{y}(x,y) - Q'_{x}(x,y)]\cdot \mu(x,y) , \ \ (x,y) \in D. \ \ (4) \)

Czynnik całkujący \( \mu(x,y) \) spełnia równanie o pochodnych cząstkowych, którego rozwiązanie jest zwykle trudniejsze od samego równania \( (1).\)

W pewnych przypadkach, możemy odgadnąć funkcję \( \mu(x,y) \) spełniającą równanie \( (4).\)

Znając czynnik całkujący \( \mu(x,y) \) równania \( (1) \) możemy wyznaczyć funkcję \( V(x,y) \) spełniającą warunek \( (2) \)

Twierdzenie

NIech \( P(x,y), \ \ Q(x,y), \ \ \mu(x,y) \) bęą funkcjami klasy \( C^{1} \) w obszarze jednospójnym \( D,\) przy czym spełniony jest warunek (4) [/tex]

Oznaczmy

\( P_{1}(x,y) \equiv \mu(x,y) \cdot P(x,y) , \ \ Q(x,y) \equiv \mu(x,y)\cdot Q_{1}(x,y).\)

Istnieje wówczas funkcja \( V(x,y) \) spełniająćą warunek \( (2) \) i wyraża się całką krzywolinową

\( V(x,y) = \int_{x_{0},y_{0}}^{x,y} P_{1}(u,v) du + Q_{1}(u,v) dv. \)

W przypadku, gdy \( D \) jest prostokątem, funkcję \( V(x,y) \) można wyrazić wzorem

\( V(x,y) = \int_{x_{0}}^{x} P_{1}(u, y_{0}) du + \int_{y_{0}}^{y} Q_{1}(x,u) du.\)

Dowód tego twierdzenia pomijamy - można zapoznać z nim na przykład w \( (*) \)

Szczególne przypadki znajdowania czynnika całkującego.

\( 1^{o} \) Spełniony jest warunek \( P'_{y}(x,y) = Q_{x}(x,y) \) dla \( (x,y) \in D.\)

Wwczas równanie \( (1) \) nazywamy równaniem zupełnym.

W tym przypadku ze wzoru \( (4) \) wynika, że funkcja \( \mu(x,y) \equiv 1 \) jest czynnikiem całkującym równania \( (1).\)

Przykład 3

ciąg dalszy nastąpi

[janusz55]

Rozwiążemy równanie

\( e^{-y} dx - (2y+xe^{-y})dy = 0 \)

Mamy \( P(x,y) = e^{-y}, \ \ Q(x,y) = -(2y +xe^{-y}) \)

\( P'_{y}(x,y) = -e^{-y}, \ \ Q'_{x}(x,y) = -e^{-y} \)

Równanie jest zupełne. Możemy przyjąć \( \mu(x,y) \equiv 1.\)

Ze wzoru

\( V(x,y) = \int_{x_{0}}^{x} P_{1}(u, y_{0}) du + \int_{y_{0}}^{y} Q_{1}(x,u) du. \)

\( V(x,y) = \int_{0}^{x} P_{1}(x,0) du + \int_{0}^{y} Q_{1}(x,u) du = \int_{0}^{x}P(u,0) du + \int_{0}^{y}Q(x,u)du = \int_{0}^{x}du -\int_{0}^{y}(2u +xe^{-u})du = x-y^2 +x(e^{-y} -1) = xe^{-y} -y^2.\)

\( 2^{o} \) W przypadku, gdy rozważane równanie \( (1)\) nie jest zupełnym możemy próbować odgadnąć jego czynnik całkujący.

Czasem udaje się go znaleźć w jednej z następującej postaci:

\( \mu(x,y) = f(x), \ \ \mu(x,y) = f(y), \ \ \mu(x,y) = f(x+y), \ \ \mu(x,y) = f(x\cdot y).\)

Przykład 4
ciąg dalszy nastąpi.

[janusz55]

Rozwiążemy równanie

\( (y +y^3)dx + (xy^2 +x +1)dy = 0 \)

Mamy tu \( P(x,y) \equiv y+y^3, \ \ Q(x,y) \equiv xy^2 + x+1, \ \ P'_{y}(x,y) \equiv 1 + 3y^2, \ \ Q'_{x} = y^2 +1.\)

Równanie to nie jest zupełne. Należy znaleźć czynnik całkujący.

Warunek \( (4) \) ma postać

\( (xy^2 +x +1)\mu'_{x}(x,y) - y(1+ y^2)\mu'_{y}(x,y) = 2y^2 \mu(x,y).\)

Widać stąd, że możemy przyjąć \( \mu(x,y) = f(y). \)

Podstawiając otrzymujemy

\( -y((1+y^2)f'(y) = 2y^2 f(y) \)

Jest to równanie liniowe - jednorodne, a zatem

\( f(y) = e^{-\int\frac{2y}{1+y^2}dy} = e^{-\ln(1+y^2)} = \frac{1}{1+y^2}. \)

Otrzymaliśmy czynnik całkujący \( \mu(x,y) = \frac{1}{1+y^2}.\)

Znajdujemy funkcję \( V(x,y) \)

\( V(x,y) = \int_{0}^{x} P_{1}(u,0)du + \int_{0}^{y} Q_{1}(x,u) du = = \int_{0}^{x} du + \int_{0}^{y} \left( x + \frac{1}{1+u^2}\right) du = xy +\arctg y.\)

Jako rozwiązanie równania otrzymujemy rodzinę krzywych \( xy +\arctg(y) + C.\)

Funkcja \( V(xy) \), którą poszukiwaliśmy i która spełnia warunek \( V(x,y) = grad \vec{F} = [V'_{x}(x,y), \ \ V'_{y}(x,y)] \) nazywamy potencjałem pola wektorowego \( V \)

W opracowaniu skorzystałem z notatek Pana dr Andrzeja Birkholca.