Układ równań z parametrem

[koxiarzx]

Siema to mój pierwszy post, potrzebuje pomocy z takim zagadnieniem:

Rozwiąż układ równań gdy \(p\) należy do liczb zespolonych

\(\begin{cases}x+y+pz=-1\\x+y+p^2z=1\\2x+2y+2p^3z=-2\end{cases}\)

[Jerry]

Wg mnie, po linii najmniejszego oporu,:

\(\begin{cases}x+y+pz=-1\\x+y+p^2z=1\\x+y+p^3z=-1\end{cases}\)

Z (ii)-(i) oraz (iii)-(i) mamy:

\(\begin{cases}(p^2-p)z=2\\(p^3-p)z=0\end{cases}\)

z czego wynika:

\(p=-1\So z=1;\\ p\ne-1\So z\in\emptyset\)

i ostatecznie:

\(p=-1\So\begin{cases}x\in\rr\\y=-x\\z=1\end{cases};\\ p\ne-1\So (x,y,z)\in\emptyset\)

Pozdrawiam

[janusz55]

Proszę rozwiązać w ciele liczb zespolonych układ równań w zależności od wartości parametru \( p \)

\( \begin{cases} x +y + pz = -1 \\ x+y +p^2z = 1 \\ 2x +2y +2p^2z =-2 \end{cases} \)

Macierz układu

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & p & -1 \\ 1 & 1 & p^2 & 1 \\ 2 & 2 & 2p^3 & -2 \end{bmatrix} \)

Metoda Gaussa

Stosujemy operacje elementarne na wierszach macierzy, sprowadzając do postaci schodkowej.

\( w_{3}\cdot \frac{1}{2} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & p & -1 \\ 1 & 1 & p^2 & 1 \\ 1 & 1 &p^3 & -1 \end{bmatrix} \)

\( w_{2} - w_{1}, \ \ w_{3}- w_{1}\)

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & p & -1 \\ 0 & 0 & p(p-1) & 2 \\ 0 & 0 & p^2(p-1) & 0 \end{bmatrix} \)

Z ostatniego wiersza macierzy wynika, że gdy \( p = 1\) to układ równań jest układem nieoznaczonym zależnym od dwóch parametrów:

\( \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -1 -x -p \\ 1 \end{bmatrix}\)

\( x, \ \ p\in \cc .\)

Jeżeli \( p =0 \) i \( p \neq 1, \) to z pierwszego i drugiego wiersza macierzy wynika, że układ równań jest układem sprzecznym.

[koxiarzx]

janusz55 czy w ostatnim wierszu zamiast p^2(p-1) nie powinno być p(p^2- 1)?

[janusz55]

Powinno być \( p^3- p = p(p^2-1) = p(p-1)(p+1) \) i wtedy dołączamy jeszcze jedną wartość \( p=-1, \) dla której układ jest nieoznaczony.
Przepraszam za niedopatrzenie.