Zadanie z treścią- wyrażenia algebraiczne

[x_gabi_x]

Liczby a i b takie, że a≠0, b≠0 oraz a≠b spełniają warunek a² + 5ab²=b²+5a²b. Wyznacz wartość sumy odwrotności liczb a i b.
Bardzo proszę o pomoc z wyjaśnieniem rozwiązania

[maria19]

Mam 3 minuty do Bonda wiec Ci podpowiem
\(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}= \frac{a+b}{ab} \)
a skoro \(a^2-b^2=5ab(a-b)\)
więc a+b=5ab
teraz podstaw to do licznika i dostaniesz 5

[janusz55]

Żeby podstawić do licznika, trzeba najpierw rozpisać różnicę kwadratów \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). \)

Z założenia \( a\neq b, \) więc różnicę kwadratów można uprościć przez czynnik \( (a-b) \) i dopiero podstawić do licznika.

Może jeszcze raz od początku.

Mamy liczby \( a \) i \( b\) takie, że \( a≠0,\ \ b≠0 \) oraz \( a≠b. \)

Liczby te spełniają warunek \( a^2 + 5a\cdot b^2 =b^2+5a^2\cdot b.\)

Mamy wyznaczyć wartość sumy odwrotności liczb \( a \) i \(b.\)

Napiszmy sumę odwrotności liczb \( a \) i \( b \)

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

Dodajemy odwrotności \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{a\cdot b} = \frac{a+b}{a\cdot b} \ \ \heartsuit \)

Przekształcamy warunek, który spełniają liczby \( a, b\)

\( a^2 + 5a\cdot b^2 =b^2+5a^2\cdot b \ \ (*) \)

Dodajemy -b^2 do obu stron (*), czyli innymi słowy "przenosimy " \( b^2 \) na lewą stronę równości (*)

\( a^2 -b^2 +5a\cdot b = 5a^2 b \ \ (**)\)

Dodajemy do obu stron równania (**) \( -5a\cdot b^2 \) czyli "przenosimy na prawą stronę równania (**) składnik \( -5a\cdot b^2\)

\( a^2 -b^2 = 5a^2\cdot b - 5a b^2 \ \ (***) \)

Lewą stronę równania (***) zapisujemy w postaci wzoru skróconego mnożenia - różnicy kwadratów \( a^2 - b^2 = (a-b)\cdot (a+b).\)

Po prawej stronie równania (***) wyłączamy wspólny czynnik przed nawias \( 5a^2\cdot b - 5a\cdot b^2 = 5a b( a-b)\)

Otrzymujemy

\( (a-b)\cdot (a+b) = 5a\cdot b(a-b) \)

Mnożymy to równanie przez \( \frac{1}{a-b} \) (upraszczamy przez różnicę \( a-b) \) mogliśmy to zrobić, bo \( a\neq b \)

\( a+b = 5a\cdot b. \)

Wstawiamy sumę \( a+b \) do równania \( \heartsuit \)

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{a\cdot b} = \frac{5a\cdot b}{a\cdot b} = 5 \) (mogliśmy uprościć \( a\cdot b, \) bo \( a\neq 0 \) i \( b \neq 0).\)

[maria19]

Wszyscy wiedzą, że potrafisz każdą rzecz rozwlec do kosmicznych rozmiarów ale po co aż 2x?
Btw. Uczeń szkoły średniej chyba nie ma kłopotów z rozpisaniem różnicy kwadratów.