prawdopodobieństwo

[puxux]

Ze zbioru liczb {1, 2,...,2022} wylosowano jedną liczbę. Prawdopodobieństwa wylosowania każdej z liczb są jednakowe. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3 lub podzielna przez 7.

[Jerry]

\[p(A)=\frac{\left[{2022\over3}\right]+\left[{2022\over7}\right]-\left[{2022\over21}\right]}{2022}\]
gdzie \([x]\) jest największą liczbą całkowitą nie mniejszą niż \(x\).

Pozdrawiam

[janusz55]

Doświadczenie losowe polega na losowaniu jednej liczby ze zbioru liczb \( \{ 1, \ \ ... \ \ 2022\}.\)

Oznaczmy interesujące nas zdarzena

\( A \) - " wylosowana liczba jest podzielna przez \( 3".\)

\( B \) -" wylosowana liczba jest podzielna przez \( 7' .\)

\( A\cap B \) -"wylosowana liczba jest podzielna przez \( 3 \) i \( 7\) czyli przez \(21.\)

Prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń

\( P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( P(A) = \frac{\left[\frac {2022}{3}\right]}{2022} = \frac{[624]}{2022} = \frac{624}{2022}= \frac{312}{1011} = \frac{104}{337}. \)

\(P(B) = \frac{\left[\frac{2022}{7}\right ]}{2022} = \frac{\left[288\frac{6}{7}\right]}{2022} = \frac{288}{2022} = \frac{48}{337}. \)

\( P(A\cap B) = \frac{\left[\frac{2022}{21}\right]}{2022} = \frac{\left[96\frac{6}{21}\right]}{2022} = \frac{96}{2022} = \frac{48}{1011} = \frac{16}{337}.\)

W nawiasach \( [ \ \ ] \) użyliśmy funkcji "Entier - części całkowitej liczby".

Stąd

\( P(A\cup B) = \frac{104}{337} + \frac{48}{337} - \frac{16}{337} = \frac{136}{337} = 0,4036 \approx 0,50. \)

Losując liczbę ze zbioru \( \{ 1,...,2022\}\) mamy około \( 40\% \) szansy, że wylosujemy liczbę podzielną przez \( 3 \) i przez \( 7.\)