Równanie różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Równanie różniczkowe
Znaleźć rozwiązania następujących Równanie różniczkowe oraz zagadnień początkowych: \( (t + y)y' = t - y \)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Równanie różniczkowe
\( (t + y)y' = t - y \ \ (*) \)
Jest to równanie jednorodne.
Podstawienie \( y = u t\)
\( \frac{dy}{dt} = u + \frac{du}{dt} \)
Podstawiamy do \( (*) \)
\(u + \frac{du}{dt} = \frac{t -ut}{t +ut} = \frac{t(1-u)}{t(1+u)} = \frac{1-u}{1+u} \)
\(\frac{du}{dt} = \frac{1-u}{1+u} - u = \frac{1 -u +u +u^2}{1+u} = \frac{1 +u^2}{1+u} \)
Rozdzielamy zmienne
\( \frac{1+u}{1+u^2}du = dt \)
Całkujemy obustronnie
\(\int \frac{1+u}{1+u^2}du = \int dt \)
\( \int \frac{1}{1+u^2}du + \frac{1}{2}\int \frac{2u}{1+u^2}du = \int dt \)
\( \arctg(u) + \frac{1}{2}\ln(1 +u^2) = t + A, \ \ A \) - stała.
Wracamy do podstawienia
\( \arctg\left (\frac{y}{t}\right) + \frac{1}{2}\ln \left(\frac{t^2 +y^2}{t^2}\right) = t + A.\)
\( \arctg\left(\frac{y}{t}\right) +\ln\left( \sqrt{\frac{t^2 +y^2}{t^2}}\right) = t+A.\)
\( \ln\left( \sqrt{\frac{t^2 +y^2}{t^2}}\right) = -\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t + A \)
\( \sqrt{\frac{t^2 +y^2}{t^2}} = Ce^{-\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t}, \ \ C = e^{A} - \) stała.
\( \frac{\sqrt{t^2 +y^2}}{t} = Ce^{-\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t}, \ \ C = e^{A} - \) stała.
\( \sqrt{t^2 +y^2} = Ct e^{-\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t}.\)
lub we współrzędnych biegunowych
\( r = Ct e^{-\phi + t} \)
Otrzymaliśmy równanie rodziny spiral logarytmicznych.
Jest to równanie jednorodne.
Podstawienie \( y = u t\)
\( \frac{dy}{dt} = u + \frac{du}{dt} \)
Podstawiamy do \( (*) \)
\(u + \frac{du}{dt} = \frac{t -ut}{t +ut} = \frac{t(1-u)}{t(1+u)} = \frac{1-u}{1+u} \)
\(\frac{du}{dt} = \frac{1-u}{1+u} - u = \frac{1 -u +u +u^2}{1+u} = \frac{1 +u^2}{1+u} \)
Rozdzielamy zmienne
\( \frac{1+u}{1+u^2}du = dt \)
Całkujemy obustronnie
\(\int \frac{1+u}{1+u^2}du = \int dt \)
\( \int \frac{1}{1+u^2}du + \frac{1}{2}\int \frac{2u}{1+u^2}du = \int dt \)
\( \arctg(u) + \frac{1}{2}\ln(1 +u^2) = t + A, \ \ A \) - stała.
Wracamy do podstawienia
\( \arctg\left (\frac{y}{t}\right) + \frac{1}{2}\ln \left(\frac{t^2 +y^2}{t^2}\right) = t + A.\)
\( \arctg\left(\frac{y}{t}\right) +\ln\left( \sqrt{\frac{t^2 +y^2}{t^2}}\right) = t+A.\)
\( \ln\left( \sqrt{\frac{t^2 +y^2}{t^2}}\right) = -\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t + A \)
\( \sqrt{\frac{t^2 +y^2}{t^2}} = Ce^{-\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t}, \ \ C = e^{A} - \) stała.
\( \frac{\sqrt{t^2 +y^2}}{t} = Ce^{-\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t}, \ \ C = e^{A} - \) stała.
\( \sqrt{t^2 +y^2} = Ct e^{-\arctg\left(\frac{y}{t}\right) +t}.\)
lub we współrzędnych biegunowych
\( r = Ct e^{-\phi + t} \)
Otrzymaliśmy równanie rodziny spiral logarytmicznych.