forum.zadania.info

czy jeżeli \( f(1)>g(1)\), a \( f'(x)<g'(x)\) to można ustalić która z funkcji jest większa w \(x=3\)

t a k

korki_fizyka pisze: ↑29 sty 2024, 17:19 t a k

w jaki sposób?

Pawm32 pisze: ↑29 sty 2024, 16:37 czy jeżeli \( f(1)>g(1)\), a \( f'(x)<g'(x)\) to można ustalić która z funkcji jest większa w \(x=3\)

n i e
np:
f(x)=2x+5
g(x)=3x+1

oraz
f(x)=2x+4
g(x)=3x+2

\( f(1) >g(1) \wedge f'(x) < g'(x) \Longrightarrow f(3) ? g(3)\)

Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie:

\( f'(x) = \frac{f(x) -f(x_{0})}{x-x_{0}}, x \rightarrow x_{0}. \)

\( g'(x) = \frac{g(x) -g(x_{0})}{x-x_{0}}, x \rightarrow x_{0}. \)

\( f'(x) < g'(x) \Longleftrightarrow \frac{f(x) -f(x_{0})}{x-x_{0}} < \frac{g(x) -g(x_{0})}{x-x_{0}}, \ \ x\rightarrow x_{0} \Longleftrightarrow f(x)-f(x_{0} < g(x) - g(x_{0}), \ \ x \rightarrow x_{0} \Longleftrightarrow f(x) - g(x) < f(x_{0}) -g(x_{0}) \)

Dla ustalonych punktów \( x_{0} = 1, x= 3 \) rozpatrujemy iloraz różnicowe, wtedy

\( f(3) - g(3) < f(1) - g(1) \)

ale

\( f(1) - g(1) > 0 \) - z założenia

Otrzymujemy sprzeczność.

\( f(3) -g(3) = 0. \)

Pan radagast ma rację.