Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych.
a).
\(a_{n} = \frac{4^{n}+6^{n}}{2*4^{n}+3^{n}}\)
b).
\(a_{n} = (\frac{n+2}{n+1})^{2n}\)
Oblicz granice ciągów.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kacper1202
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 28 sty 2024, 18:01
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Oblicz granice ciągów.
a)
\( \Lim_{n\to \infty} a_{n} = \Lim_{n\to \infty} \frac{4^{n}+6^{n}}{2\cdot 4^{n} + 3^{n}} =\Lim_{n\to \infty} \frac{4^{n}\left[ 1+\left(\frac{6}{4}\right)^{n}\right]}{4^{n}\left[ 2+\left( \frac{3}{4}\right)^{n}\right]} = \Lim_{n\to \infty} \frac{4^{n}}{4^{n}}\cdot \Lim_{n\to \infty} \frac{\left[ 1+\left(\frac{6}{4}\right)^{n}\right]}{\left[ 2+\left( \frac{3}{4}\right)^{n}\right]} = 1\cdot \frac{1+ \infty}{2 + 0} = 1\cdot \infty = \infty\)
b)
\( \Lim_{n\to \infty} a_{n} = \Lim_{n\to \infty} \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{2n} = \Lim_{n\to \infty} \left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{2n} = \Lim_{n\to \infty} \left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{2(n+1)}\cdot \Lim_{n\to \infty} \left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{-2}= e^{2}\cdot 1 = e^{2}.\)
\( \Lim_{n\to \infty} a_{n} = \Lim_{n\to \infty} \frac{4^{n}+6^{n}}{2\cdot 4^{n} + 3^{n}} =\Lim_{n\to \infty} \frac{4^{n}\left[ 1+\left(\frac{6}{4}\right)^{n}\right]}{4^{n}\left[ 2+\left( \frac{3}{4}\right)^{n}\right]} = \Lim_{n\to \infty} \frac{4^{n}}{4^{n}}\cdot \Lim_{n\to \infty} \frac{\left[ 1+\left(\frac{6}{4}\right)^{n}\right]}{\left[ 2+\left( \frac{3}{4}\right)^{n}\right]} = 1\cdot \frac{1+ \infty}{2 + 0} = 1\cdot \infty = \infty\)
b)
\( \Lim_{n\to \infty} a_{n} = \Lim_{n\to \infty} \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{2n} = \Lim_{n\to \infty} \left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{2n} = \Lim_{n\to \infty} \left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{2(n+1)}\cdot \Lim_{n\to \infty} \left(1 +\frac{1}{n+1}\right)^{-2}= e^{2}\cdot 1 = e^{2}.\)