pomocy
Kondensator
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kondensator
Kondensator o pojemności C=1F podłączono do źródła napięcia U=10V i naładowano i odłączono od źródła a następnie zwarto opornikiem R=10 ohm. Napisz równanie opisujące zależność ładunku Q(t) na kondensatorze od czasu t. Wyznacz wzorami funkcję ładunku Q(t), napięcia U(t) na kondensatorze, natężenia prądu w obwodzie I(t) i mocy P(t) wydzielanej na oporniku. Policz stałą czasową obwodu τ.
pomocy
pomocy
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Kondensator
Analiza zadania:
Ładowanie kondensatora
Ładowanie kondensatora polega na przeniesieniu elektronów z jednej okładki na drugą. Ta druga okładka ładuje się wtedy ujemnie, a pierwsza – dodatnio.
Naładowano kondensator czyli podłączono go do źródła napięcia, które przeniosło odpowiedni ładunek z jednej okładki na drugą. Ładunek ten przepłynie przez źródło napięcia w postaci krótkotrwałego prądu elektrycznego. Kondensator będzie ładowany do chwili, aż wytworzy się na nim napięcie równe sile elektromotorycznej źródła napięcia. Jest to napięcie \( U \). W ten sposób dochodzimy do podstawowego parametru technicznego cechującego kondensator tj. do jego pojemności. Ilość ładunku \( Q \) jest proporcjonalna do napięcia ładującego \( U\) a współczynnik tej proporcjonalności nazwano pojemnością \( C \) danego kondensatora
\( Q = CU \ \ (1) \)
Rozładowanie kondensatora
Jeżeli naładowany kondensator odłączymy od źródła napięcia i jego okładki zewrzemy oporem, to kondensator zachowa się jak
czasowe źródło prądu i rozładuje się. Przeanalizujmy zależność szybkości tego rozładowania od pojemności kondensatora.
Kondensator, naładowany do napięcia \( U\), może być traktowany jako źródło napięcia. Po zwarciu okładek oporem R, przez opornik popłynie prąd o natężeniu, które w pierwszej chwili wyniesie (zgodnie z prawem Ohma)
\( I_{0} = \frac{U}{R}.\)
Przepływ prądu nieuchronnie powoduje rozładowywanie się kondensatora: maleje ładunek na nim zgromadzony i zgodnie z (1) maleje napięcie między jego okładkami, a w ślad za tym – będzie malał prąd płynący przez opornik. Spróbujmy opisać zależności między tymi wielkościami.
Zależność wartości napięcia na kondnsatorze oraz natężenia prądu w całym obwodzie znajdujemy z II prawa KIrchhoffa.
\( U = I(t) \cdot R + \frac{Q(t)}{C}, \)
gdzie \( Q \) jest ładunkiem zgromadzonym na kondensatorze.
Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, bo \( I(t) = \frac{dQ}{dt},\) z warunkiem początkowym \( Q(0) = 0.\)
Stąd
\( \frac{dQ}{dt} = \frac{U\cdot C - Q(t)}{R\cdot C}\)
Rozdzielając zmienne i obustronnie całkując
\( \int\frac{dQ}{UC -Q} = \frac{1}{RC}\int dt.\)
\( -\ln(UC - Q) = \frac{1}{RC}t \)
\( UC - Q = e^{-\frac{1}{RC}t} \)
\( Q(t) = UC -1e^{-\frac{1}{RC}t} \)
Uwzględniając warunek początkowy:
\( Q(0) = 0 = UC - 1, \ \ 1 = UC \)
Otrzymujemy funkcję ładunku \( Q(t) \)
\( Q(t) = UC \left(1 - e^{-\frac{1}{RC}} \right ).\)
Napięcie na kondensatorze
\( U(t) = \frac{Q(t)}{C} = U\left( 1 - e^{-\frac{1}{RC}}\right).\)
Natężenie prądu na kondensatorze:
\( I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = \frac{U}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}.\)
Moc wydzielającą się na elemencie rezystancyjnym w procesie rozładowania kondensatora
\( P(t) = I^2(t) \cdot R. \)
Iloczyn \( R\cdot C = \tau \) to stała czasowa obwodu.
Ładowanie kondensatora
Ładowanie kondensatora polega na przeniesieniu elektronów z jednej okładki na drugą. Ta druga okładka ładuje się wtedy ujemnie, a pierwsza – dodatnio.
Naładowano kondensator czyli podłączono go do źródła napięcia, które przeniosło odpowiedni ładunek z jednej okładki na drugą. Ładunek ten przepłynie przez źródło napięcia w postaci krótkotrwałego prądu elektrycznego. Kondensator będzie ładowany do chwili, aż wytworzy się na nim napięcie równe sile elektromotorycznej źródła napięcia. Jest to napięcie \( U \). W ten sposób dochodzimy do podstawowego parametru technicznego cechującego kondensator tj. do jego pojemności. Ilość ładunku \( Q \) jest proporcjonalna do napięcia ładującego \( U\) a współczynnik tej proporcjonalności nazwano pojemnością \( C \) danego kondensatora
\( Q = CU \ \ (1) \)
Rozładowanie kondensatora
Jeżeli naładowany kondensator odłączymy od źródła napięcia i jego okładki zewrzemy oporem, to kondensator zachowa się jak
czasowe źródło prądu i rozładuje się. Przeanalizujmy zależność szybkości tego rozładowania od pojemności kondensatora.
Kondensator, naładowany do napięcia \( U\), może być traktowany jako źródło napięcia. Po zwarciu okładek oporem R, przez opornik popłynie prąd o natężeniu, które w pierwszej chwili wyniesie (zgodnie z prawem Ohma)
\( I_{0} = \frac{U}{R}.\)
Przepływ prądu nieuchronnie powoduje rozładowywanie się kondensatora: maleje ładunek na nim zgromadzony i zgodnie z (1) maleje napięcie między jego okładkami, a w ślad za tym – będzie malał prąd płynący przez opornik. Spróbujmy opisać zależności między tymi wielkościami.
Zależność wartości napięcia na kondnsatorze oraz natężenia prądu w całym obwodzie znajdujemy z II prawa KIrchhoffa.
\( U = I(t) \cdot R + \frac{Q(t)}{C}, \)
gdzie \( Q \) jest ładunkiem zgromadzonym na kondensatorze.
Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, bo \( I(t) = \frac{dQ}{dt},\) z warunkiem początkowym \( Q(0) = 0.\)
Stąd
\( \frac{dQ}{dt} = \frac{U\cdot C - Q(t)}{R\cdot C}\)
Rozdzielając zmienne i obustronnie całkując
\( \int\frac{dQ}{UC -Q} = \frac{1}{RC}\int dt.\)
\( -\ln(UC - Q) = \frac{1}{RC}t \)
\( UC - Q = e^{-\frac{1}{RC}t} \)
\( Q(t) = UC -1e^{-\frac{1}{RC}t} \)
Uwzględniając warunek początkowy:
\( Q(0) = 0 = UC - 1, \ \ 1 = UC \)
Otrzymujemy funkcję ładunku \( Q(t) \)
\( Q(t) = UC \left(1 - e^{-\frac{1}{RC}} \right ).\)
Napięcie na kondensatorze
\( U(t) = \frac{Q(t)}{C} = U\left( 1 - e^{-\frac{1}{RC}}\right).\)
Natężenie prądu na kondensatorze:
\( I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = \frac{U}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}.\)
Moc wydzielającą się na elemencie rezystancyjnym w procesie rozładowania kondensatora
\( P(t) = I^2(t) \cdot R. \)
Iloczyn \( R\cdot C = \tau \) to stała czasowa obwodu.
-
maria19
- Stały bywalec
- Posty: 370
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy