Koncentracja samoistna krzemu

[janusz55]

Zadanie
Samoistny krzem w temperaturze pokojowej \( T = 300 K \) posiada efektywną gęstość stanów w paśmie przewodnictwa \( N_{c}= 6\cdot 10^{21}T^{\frac{3}{2}} \left(\frac{1}{m^3}\right) \) i w paśmie walencyjnym \( N_{v} = 2,5\cdot 10^{21}T^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{m^3}\right)\) oraz przerwę energetyczną \( E_{g} = 1,14 (eV). \)
Proszę obliczyć koncentrację samoistną \( n_{i}.\)

Rozwiązanie

Podczas koncentracji samoistnej każdy elektron wzbudzony dla \( T>0 \) z pasma walencyjnego i zostawiający tam dziurę musi się znaleźć w paśmie przewodnictwa.

Czyli dla półprzewodników samoistnych \( n_{i} = p_{i} \) (\( p_{i} \) - koncentracja dziur)

Stąd

\( n_{i} = \sqrt{n_{i}\cdot p_{i}} = \sqrt{N_{c}\cdot N_{v}} \cdot \exp\left( -\frac{E_{g}}{2k_{B}\cdot T}\right). \)

Wyrażając stała Boltzmanna w elektrowoltach na Kelwin \( k_{B} = 8,62\cdot 10^{-5}\ \ \frac{eV}{K}, \)

otrzymujemy

\( n_{i} = \sqrt{6\cdot 10^{21}\cdot 300^{\frac{3}{2}} \left(\frac{1}{m^3}\right)\cdot 2,5\cdot 10^{21}\cdot 300^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{m^3}\right)} \cdot \exp\left( - \frac{1,14 (eV)}{2\cdot 8,62\cdot 10^{-5}\left(\frac{eV}{K}\right)\cdot 300 (K)}\right) \approx 5,38 \cdot 10^{15}\frac{1}{m^3}. \)