Wyznacz pole obszaru ograniczonego krzywymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Wyznacz pole obszaru ograniczonego krzywymi
Proszę obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą:
\( r(\phi) =\cos(\phi).\)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\phi & -\frac{\pi}{2} &...&\frac{\pi}{2} \\ \hline
r & 0 & \cos(\phi) & 0 \\ \hline
\end{array} \)
Współrzędne biegunowe:
\( x = r\cos(\phi), \ \ y = r\sin(\phi), \ \ J(\phi, r) = r.\)
\(| P| = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\cos(\phi)} rdr d\phi = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{1}{2}r^2\right]_{0}^{\cos(\phi)} =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos^2(\phi)d\phi = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\frac{\cos(2\phi)+1}{2} d\phi = \frac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\cos(2\phi)+ 1]d\phi=\frac{1}{4} \left [\frac{1}{2} \sin(2\phi)+\phi \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =\)
\(= \frac{1}{4}\left[\frac{1}{2}\sin(\pi)+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\sin(\pi)+\frac{\pi}{2} \right]= \frac{1}{4}[ 0 +\frac{\pi}{2} -0 + \frac{\pi}{2}] = \frac{\pi}{4}.\)
\( r(\phi) =\cos(\phi).\)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\phi & -\frac{\pi}{2} &...&\frac{\pi}{2} \\ \hline
r & 0 & \cos(\phi) & 0 \\ \hline
\end{array} \)
Współrzędne biegunowe:
\( x = r\cos(\phi), \ \ y = r\sin(\phi), \ \ J(\phi, r) = r.\)
\(| P| = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\cos(\phi)} rdr d\phi = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{1}{2}r^2\right]_{0}^{\cos(\phi)} =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos^2(\phi)d\phi = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\frac{\cos(2\phi)+1}{2} d\phi = \frac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\cos(2\phi)+ 1]d\phi=\frac{1}{4} \left [\frac{1}{2} \sin(2\phi)+\phi \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =\)
\(= \frac{1}{4}\left[\frac{1}{2}\sin(\pi)+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\sin(\pi)+\frac{\pi}{2} \right]= \frac{1}{4}[ 0 +\frac{\pi}{2} -0 + \frac{\pi}{2}] = \frac{\pi}{4}.\)