dowod
Pokaż że jeśli a jest macierzą markowa to α=1 jest wartością własną macierzy
czyli mozna zapisac ze
macierz A
ktora jest macierza markowa wiec suma w kolumnie rowna sie jeden
A − I
co oznacza ze od kazdej kolumny bedzie odjeta liczba 1 co spowoduje iz suma w kolumnach bedzie
wynosic 0
co spowoduje iz suma wierszy bedzie wynosic zero
co pokazuje wystepowanie liniowej zaleznosci ktora mowi nam o tym ze wyznacznik tej macierzy
jest rowny 0
co oznacza iz wartoscia wlasna macierzy A jest liczba 1 poniewaz wyznacznik jest zerowany.
Czy to rozumowanie i sam zapis jest poprawny? Czy nalezy cos zmienic poprawic?
Bo nie do konca wiem czy to jest dobrze i skad to sie bierze ze zaleznosc w kolumnach robi zaleznosc w wierszach. Gdyby ktos umial mnie poprawic i dopisac zeby to bylo poprawnie bylbym wdzieczny
macierz markowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: macierz markowa
Dowód:
Jeśli \( \lambda \) jest wartością własną macierzy markowa \( M, \) to dla penego wektora \( \vec{w} \neq 0 \)
\( M\cdot \vec{w} = \lambda \cdot \vec{w}.\)
Przekształcając to równanie równoważnie:
\( M\cdot\vec{w}-\lambda\cdot \vec{w}, \ \ (M -\lambda I)\cdot \vec{w} = 0 \ \ (*) \)
Jeśli macierz \( M-\lambda I \) jest odwracalna, to z równania \( (*) \ \ \vec{w} = (M - \lambda I)^{-1}\cdot 0 = 0 \)
Otrzymujemy sprzeczność, że wektor \( \vec{w} \neq 0.\)
Zatem macierz \( M - \lambda I \) nie jest odwracalna, to znaczy \( \det(M-\lambda I) = 0.\)
Z alternatywnej definicji wartości własnej stwierdzamy, że \( \lambda \) jest wartością własną macierzy \( M \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \det(M -\lambda I) = 0.\)
Stąd \( \det( M - 1\cdot I) = 0, \ \ \lambda =1.\)
\( \Box \)
(*)
Ponieważ każda kolumna macierzy \( M \) sumuje się do \( 1,\) to kolumny macierzy \( M - I \) sumują się do \( 0.\)
To oznacza, że suma wierszy (liniowa kombinacja ze współczynnikami równymi 1) jest wektorem zerowym.
Jeśli liniowa kombinacja wektorów wierszy z niezerowymi współczynnikami \( 1 \) jest niezerowa, to oznacza, że wiersze macierzy są liniowo zależne.
Każda macierz z liniowo-zależnymi wierszami lub kolumnami ma wyznacznik równy \( 0.\)
Stąd \( \det(M- I) = 0 \) i \( \lambda =1\) (z definicji) jest wartością własną macierzy \( M.\)
\( \Box \)
Prawdziwe jest twierdzenie:
Największą wartością własną macierzy stochastycznej iest \( 1.\)
Proszę pisać czytelnie, stosując edytor \( \LaTeX. \)
(*) - dowód pochodzi z książki Gilberta Stranga. Introduction to Linear Algebra. Ed. 5. Wellesley Cambridge Press 2016.
Jeśli \( \lambda \) jest wartością własną macierzy markowa \( M, \) to dla penego wektora \( \vec{w} \neq 0 \)
\( M\cdot \vec{w} = \lambda \cdot \vec{w}.\)
Przekształcając to równanie równoważnie:
\( M\cdot\vec{w}-\lambda\cdot \vec{w}, \ \ (M -\lambda I)\cdot \vec{w} = 0 \ \ (*) \)
Jeśli macierz \( M-\lambda I \) jest odwracalna, to z równania \( (*) \ \ \vec{w} = (M - \lambda I)^{-1}\cdot 0 = 0 \)
Otrzymujemy sprzeczność, że wektor \( \vec{w} \neq 0.\)
Zatem macierz \( M - \lambda I \) nie jest odwracalna, to znaczy \( \det(M-\lambda I) = 0.\)
Z alternatywnej definicji wartości własnej stwierdzamy, że \( \lambda \) jest wartością własną macierzy \( M \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( \det(M -\lambda I) = 0.\)
Stąd \( \det( M - 1\cdot I) = 0, \ \ \lambda =1.\)
\( \Box \)
(*)
Ponieważ każda kolumna macierzy \( M \) sumuje się do \( 1,\) to kolumny macierzy \( M - I \) sumują się do \( 0.\)
To oznacza, że suma wierszy (liniowa kombinacja ze współczynnikami równymi 1) jest wektorem zerowym.
Jeśli liniowa kombinacja wektorów wierszy z niezerowymi współczynnikami \( 1 \) jest niezerowa, to oznacza, że wiersze macierzy są liniowo zależne.
Każda macierz z liniowo-zależnymi wierszami lub kolumnami ma wyznacznik równy \( 0.\)
Stąd \( \det(M- I) = 0 \) i \( \lambda =1\) (z definicji) jest wartością własną macierzy \( M.\)
\( \Box \)
Prawdziwe jest twierdzenie:
Największą wartością własną macierzy stochastycznej iest \( 1.\)
Proszę pisać czytelnie, stosując edytor \( \LaTeX. \)
(*) - dowód pochodzi z książki Gilberta Stranga. Introduction to Linear Algebra. Ed. 5. Wellesley Cambridge Press 2016.