Zadanie z urnami

[GusiaTcz]

W pierwszej urnie jest 5 kul białych i 3 czarne, w drugiej jest n białych i 4 czarne .
Losujemy z każdej urny po jednej kuli i umieszczamy je w trzeciej pustej urnie. Następnie z
trzeciej urny losujemy jedną kulę. Wyznacz największą wartość n, dla której
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest mniejsze od 11/16.

[eresh]

W pierwszej urnie jest 5 kul białych i 3 czarne, w drugiej jest n białych i 4 czarne .
Losujemy z każdej urny po jednej kuli i umieszczamy je w trzeciej pustej urnie. Następnie z
trzeciej urny losujemy jedną kulę. Wyznacz największą wartość n, dla której
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest mniejsze od 11/16.

\(H_1\) - z pierwszej urny wylosowano kulę białą i z drugiej urny wylosowano kulę białą
\(H_2\) - z pierwszej urny wylosowano kulę białą i z drugiej urny wylosowano kulę czarną
\(H_3\) - z pierwszej urny wylosowano kulę czarną i z drugiej urny wylosowano kulę białą
\(H_4\) - z pierwszej urny wylosowano kulę czarną i z drugiej urny wylosowano kulę czarną
\(A\) - w trzeciej urny wylosowano kulę białą
\(P(H_1)=\frac{5}{8}\cdot\frac{n}{n+4}=\frac{5n}{8(n+4)}\\
P(H_2)=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{n+4}=\frac{20}{8(n+4)}\\
P(H_3)=\frac{3}{8}\cdot\frac{n}{n+4}=\frac{3n}{8(n+4)}\\
P(H_4)=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{n+4}=\frac{12}{8(n+4)}\\
P(A|H_3)=P(A|H_2)=\frac{1}{2}\\
P(A|H_1)=1\\
P(A|H_4)=0\\
P(A)=\frac{5n}{8(n+4)}+\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{8(n+4)}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3n}{8(n+4)}\\
P(A)=\frac{10n+20+3n}{16(n+4)}=\frac{13n+20}{16(n+4)}\\
\frac{13n+20}{16(n+4)}<\frac{11}{16}\\
\frac{13n+20}{n+4}<11\\
13n+20<11n+44\\
2n<24\\
n<12\\
n=11\)

[janusz55]

Oznaczenia:

\( b \) - kula biała

\( c \) - kula czarna.

\( B \) - zdarzenie " wylosowanie kuli biaej"

\( C \) - zdarzenie " wylosowanie kuli czarnej"

Mamy dwie urny \( U_{1} \) i \(U_{2} \) z zawartością kul:

\( U_{1} : 5b + 3c, \)

\( U_{2}: n b + 4c, \ \ n\in \nn. \)

i jedną trzecią urnę \( U_{3} \) - pustą.

Nasze działanie - doświadczenie losowe polega na:

losowaniu po jednej kuli z urny \( U_{1}\) i \( U_{2} \) (zakładając, że wszystkie losowania kul są równo prawdopodobne)

Z każdej z urn możemy wylosować kulę białą bądź czarną i umieszczamy je w pustej urnie \( U_{3}.\)

Mamy dwa zbiory zdarzeń elementarnych dla każdej urny osobno:

\( U_{1}: \ \ \Omega_{1} = \{b , c\},\)

\( U_{2}: \ \ \Omega_{2} = \{b, c\}, \)

Znajdujemy rozkład prawdopodobieństwa na każdym z nich:

\( P_{1}(B) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}, \ \ P_{1}(C) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}, \ \ P_{2}(B) = \frac{n}{n+4} , \ \ P_{2}(C) = \frac{4}{n+4}.\)

W etapie drugim losujemy jedną kulę z urny \( U_{3}. \)

Urna \( U_{3} \) może zawierać jedną kulę białą lub jedną kulę czarną pochodzące z urny \( U_{1} \) lub z urny \( U_{2}. \)

Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) - "wylosowana kula jest biała."

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne):

\( P(A) = P_{1}(B)\cdot P(B|U_{1} + P_{2}(B) \cdot P(B|U_{2})\)

gdzie:

\( P(B|U_{1}) = \frac{1}{2} = P(B|U_{2}) \) (bo prawdopodobieństwo wyboru urny \( U_{1} \) i \( U_{2}\) jest takie samo)

\( P(A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{n}{n+4} \cdot \frac{1}{2} \)

Wartość tego prawdopodobieństwa ma być mniejsza od \( \frac{11}{16} = 0,6875. \)

\( \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{n}{n+4} \cdot \frac{1}{2} < \frac{11}{16} \)

\( \frac{5}{16} + \frac{n}{2(n+4)} < \frac{11}{16} \)

\( \frac{5}{16} + \frac{8n}{16(n+4)}< \frac{11}{16}.\)

\( \frac{5}{1} + \frac{8n}{n+4} <\frac{11}{1},\)

\( \frac{5}{1} + \frac{8n}{n+4} - \frac{11}{1} <0,\)

\( 5(n+4) +8n -11(n+4) < 0,\)

\( 5n+20 +8n -11n -44 <0, \)

\( 2n - 24 <0, \)

\( 2n<24, \)

\( n<12. \)

Największa wartość, to \( n = 11\) kul w urnie \( U_{2}, \) dla której prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest mniejsze od \( \frac{11}{12}.\)

Wartość tego prawdopodobieństwa wynosi:

\( P^{*} = \frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2} + \frac{11}{15}\cdot \frac{1}{2} = \frac{163}{240} = 0,6792 < 0,6875.\)