optymalizacja zbior Stankiewicza

[zuzas]

lejek stozkowy, ktorego dlugosc promienia podstawy wynosi r, a wysokosc wynosi h, napelniono woda. w lejek zanurzono kule. jaki powinien byc promien kuli, by objetosc wody usunieta zanurzona czescia kuli byla najwieksza?
prosze o pomoc

[maria19]

1 kulę czy kule?

[zuzas]

chodzi o 1 kulę

[janusz55]

Lejek stożkowy, którego długość promienia podstawy wynosi \( r \) a wysokość \( h \) napełniono wodą. W lejek zanurzono kulę.
Jaki powinien być promień kuli, żeby objętość wody usunięta zanurzoną częścią kuli
była największa?

Wykonujemy rysunek i dla uproszczenia rachunków wprowadzamy długość tworzącej stożka \( l. \)

Wskazówka:
Różnica między odległością środka kuli od wierzchołka stożka i promieniem kuli jest równa różnicy odległości między wysokością stożka i wysokością zanurzonego w wodzie odcinka kuli.

[maria19]

[..]
Wskazówka:
Różnica między odległością środka kuli od wierzchołka stożka i promieniem kuli jest równa różnicy odległości między wysokością stożka i wysokością zanurzonego w wodzie odcinka kuli.

Jaśniej proszę, bo nie słyszało o odcinku kuli.

[janusz55]

Szkoda, że Pani nie słyszała!

Odcinkiem kuli nazywamy każdą z dwóch części kuli, na które dzieli tę kulę płaszczyzna przechodząca przez jej wnętrze wraz z przekrojem kuli tą płaszczyzną.

[maria19]

Upraszczajac zadanie optymalizacyjne sprowadza się do znalezienia promienia kuli o największej objętości wpisanej w stożek. Jak sobie zuzas narysujesz, to w przekroju otrzymasz okrąg wpisany w trójkąt równoramienny, a dalej z tw. Pitagorasa:
\((h-R)^2 =R^2 +(L-r)^2\), gdzie tworząca stożka \( L= \sqrt{h^2+r^2} \)
teraz wystarczy pobadać funkcję \(V(R)= \frac{4}{3} \pi R^3\) w dziedzinie 0<R<r.

[janusz55]

W rozwiązaniu zadania nie ma uproszczenia. Nie wpisujemy kuli w lejkowy stożek "suchy" i szukamy jej maksymalnego promienia lecz w stożek napełniony wodą. Obliczamy taki promień kuli, dla którego objętość wody częścią zanurzoną kuli jest maksymalna.

[maria19]

W takim razie w podstawie trójkąta będzie wpisany półokrag, ale metoda ta sama.

[maria19]

PS. Kula wyprze największą objętość wody z lejka jeśli zanurzy się całkowicie.