optymalizacja zbior Stankiewicza

[zuzas]

znalezc rownanie prostej przechodzacej przez punkt A(a,b) (a>0, b>0) ktora z dodatnimi polosiami Oxy tworzy trojkat o najmniejszym polu
prosze o pomoc

[Icanseepeace]

Szukana prosta ma równanie:
\(y = A_1x + A_2 \)
Punkt \( A(a,b) \) należy do prostej, więc:
\( A_2 = b - A_1a \So y = A_1(x-a) + b\)
Przecięcie z osią OX : \( x = -\frac{b}{A_1} + a \)
Przecięcie z osią OY: \( y = -A_1a + b \)
Należy teraz znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia:
\( f(A_1) = |a - \frac{b}{A_1}||b - A_1a| = \frac{(b - A_1a)^2}{|A_1|} = \frac{(b-A_1a)^2}{-A_1} \geq \frac{-2abA_1}{-A_1} = 2ab \)
przy czym równość zajdzie gdy:
\( b = -A_1a \So A_1 = - \frac{b}{a} \)
Finalne równanie prostej:
\( y = -\frac{b}{a}(x-a) + b = -\frac{b}{a}x + 2b\)

[janusz55]

Możemy zapisać to równanie prostej w postaci odcinkowej:

\( y = -\frac{b}{a}x + 2b, \)

\( \frac{y}{b} = -\frac{x}{a} + 2\)

\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2\)

Wniosek:
\( P_{min.} = \frac{1}{2}2a\cdot 2b = 2a\cdot b.\)

[zuzas]

nie do końca rozumiem momentu wyliczenia wspolczynnika, czy moglbys zrobic to z pochodnej?

[Icanseepeace]

\( f(A_1) = - \frac{b^2 - 2A_1ab + A_1^2a^2}{A_1} = - (\frac{b^2}{A_1} - 2ab + a^2A_1) \)
\( f'(A_1) = \frac{b^2}{A_1^2} - a^2 \So A_1 = -\frac{b}{a} \)