Obliczanie granice ciągu

[Lilcia]

Wykaż zbieżność ciągu stosując twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym oraz oblicz granicę:

\(\begin{cases}a_1>0\\
a_{n+1} = a_n - \dfrac{a_n^3-1}{3a_n^2}\end{cases}\)

Proszę o pomoc

[janusz55]

Proszę zapoznać się z samouczkiem edytora \( \LaTeX \)
i przepisać poprawnie treść zadania.

[Lilcia]

Wykaż zbieżność ciągu stosując twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym oraz oblicz granicę:

$a_1$ > 0
$a_{n+1}$ = $a_n$ - [($a_n$)^3)-1]/3*$a_n$^2

Proszę o pomoc, przepraszam za brak umiejętności pisania symboli na klawiaturze

[Lilcia]

Wykaż zbieżność ciągu stosując twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym oraz oblicz granicę:

$a_1$ > 0
$a_{n+1}$ = $a_n$ - \frac{$a^3_n$-1}{3*$a^2_n$}

Proszę o pomoc, przepraszam za brak umiejętności pisania symboli na klawiaturze

[Lilcia]

Dobra, nie wiem jak się to pisze, gdzie można usunąć posty?

[Jerry]

Nie denerwuj się, już myślę nad rozwiązaniem... bądź cierpliwa

[edited]
Hipoteza: istnieje skończona granica \(g\) tego ciągu. Wtedy: \(g = g - \frac{g^3-1}{3g^2}\iff g=1\)

1. Czy dla każdego \(n>1\) zachodzi \(a_n\ge1\)?
   \(a_{n+1}=a_n - \dfrac{a_n^3-1}{3a_n^2}\ge1\iff (a_n-1)^2(2a_n+1)\ge0\)
   Tak.
2. Czy \((a_n)\) nierosnący od \(n=2\) ?
   \(a_{n+1}-a_n\le0\iff - \dfrac{a_n^3-1}{3a_n^2}\le0\iff a_n\ge1\)
   Tak.

Odp.: \(\Limn a_n=1\)

Pozdrawiam

[Lilcia]

Dziękuję bardzo, mam jeszcze pytanie, to co jest w pierwszej linijce to jest jakaś specjalna właściwość ciągów w postaci rekurencyjnej?

[Jerry]

...to co jest w pierwszej linijce to jest jakaś specjalna właściwość ciągów w postaci rekurencyjnej?

Ja bym tego tak nie nazwał, po prostu przejście w granice \(\Limn a_{n+1}=\Limn a_n=g\) w rekurencji, o ile ta granica istnieje

Pozdrawiam