Proszę o szybką pomoc. Zadanie z urnami
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Proszę o szybką pomoc. Zadanie z urnami
W urnie umieszczono 2 kule białe i 1 kulę czarną. Losujemy jedną kulę z urny i zwracamy ją do urny oraz dodatkowo dokładamy do urny jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy z tej urny dwie kule jednocześnie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie wylosowane kule będą białe. Wynik to 13/30. Nie mam pojęcia jak to obliczyć proszę o rozwiązanie.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Proszę o szybką pomoc. Zadanie z urnami
Z tw. o p-wie całkowitym:
\(p(B_1)={2\over3},\\ p(C_1)={1\over3}\)
Niech \(S\) będzie zdarzeniem: dwie białe w drugim losowaniem. Wtedy
\(p(S/B_1)=\dfrac{{4\choose2}}{{5\choose2}}={6\over10}\\
p(S/C_1)=\dfrac{{2\choose2}}{{5\choose2}}={1\over10}\)
Wobec zupełności układu hipotez:
\[p(S)=p(S/B_1)\cdot p(B_1)+p(S/C_1)\cdot p(C_1)=\ldots\]
Pozdrawiam
\(p(B_1)={2\over3},\\ p(C_1)={1\over3}\)
Niech \(S\) będzie zdarzeniem: dwie białe w drugim losowaniem. Wtedy
\(p(S/B_1)=\dfrac{{4\choose2}}{{5\choose2}}={6\over10}\\
p(S/C_1)=\dfrac{{2\choose2}}{{5\choose2}}={1\over10}\)
Wobec zupełności układu hipotez:
\[p(S)=p(S/B_1)\cdot p(B_1)+p(S/C_1)\cdot p(C_1)=\ldots\]
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: Proszę o szybką pomoc. Zadanie z urnami
Etap 1
Losujemy ze zwracaniem jedną kulę z urny zawierającej dwie kule białe i jedną kulę czarna:
\( \Omega_{1} = \{b, c\}, \ \ P_{1}(b) = \frac{2}{3}, \ \ P_{1}(c) = \frac{1}{3}.\)
Dokładamy do urny dwie kule tego samego koloru co wylosowana w etapie pierwszym kula i losujemy jednocześnie bez zwracania dwie kule:
Etap 2
W urnie znajdują się cztery kule białe i jedna czarna, jeśli w etapie pierwszym wylosowano kulę biała lub dwie kule białe i trzy czarne, jeśli wylosowano kulę czarną.
\( \Omega_{2|1}= \{b, c\}, \ \ P_{2|1}(b) = \frac{4}{5}, \ \ P_{2|1}(c) = \frac{1}{5}\)
\( \Omega_{2|2}= \{b, c\}, \ \ P_{2|2}(b) = \frac{2}{5}, \ \ P_{2|2}(c) = \frac{3}{5}.\)
\( P_{2|1}(bb) = \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{20}= \frac{6}{10}, \ \ P_{2|2}(bb) = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}= \frac{1}{10}.\)
Biorąc pod uwagę etap pierwszy i drugi losowań - prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych jest równe:
\( P(A) = P_{1}(b)\cdot P_{2|1}(bb) + P_{1}(c)\cdot P_{2|2}(bb) = \frac{2}{3}\cdot \frac{6}{10}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{10} = \frac{12}{30}+\frac{1}{30}= \frac{13}{30}.\)
Możemy oczekiwać, że w około \( 43\% \) ogólnej liczby wyników otrzymamy dwie kule białe.
Losujemy ze zwracaniem jedną kulę z urny zawierającej dwie kule białe i jedną kulę czarna:
\( \Omega_{1} = \{b, c\}, \ \ P_{1}(b) = \frac{2}{3}, \ \ P_{1}(c) = \frac{1}{3}.\)
Dokładamy do urny dwie kule tego samego koloru co wylosowana w etapie pierwszym kula i losujemy jednocześnie bez zwracania dwie kule:
Etap 2
W urnie znajdują się cztery kule białe i jedna czarna, jeśli w etapie pierwszym wylosowano kulę biała lub dwie kule białe i trzy czarne, jeśli wylosowano kulę czarną.
\( \Omega_{2|1}= \{b, c\}, \ \ P_{2|1}(b) = \frac{4}{5}, \ \ P_{2|1}(c) = \frac{1}{5}\)
\( \Omega_{2|2}= \{b, c\}, \ \ P_{2|2}(b) = \frac{2}{5}, \ \ P_{2|2}(c) = \frac{3}{5}.\)
\( P_{2|1}(bb) = \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{20}= \frac{6}{10}, \ \ P_{2|2}(bb) = \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}= \frac{1}{10}.\)
Biorąc pod uwagę etap pierwszy i drugi losowań - prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych jest równe:
\( P(A) = P_{1}(b)\cdot P_{2|1}(bb) + P_{1}(c)\cdot P_{2|2}(bb) = \frac{2}{3}\cdot \frac{6}{10}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{10} = \frac{12}{30}+\frac{1}{30}= \frac{13}{30}.\)
Możemy oczekiwać, że w około \( 43\% \) ogólnej liczby wyników otrzymamy dwie kule białe.