Prawdopodobieństwo | Finanse i rozkład Bernoulliego

[rone3876]

Dzień dobry,
jeszcze raz dziękuję za wczorajsze wskazówki odnośnie zadań ze statystyki i prawdopodobieństwa - bardzo mi pomogły! Mam jeszcze jedno (już chyba raczej ostatnie) pytanie odnośnie zadań z Olimpiady Statystycznej

Spoiler

Olimpiada Statystyczna 2018/2019, etap okręgowy, zadanie 24

W pewnej firmie produkcyjnej analizując dane historyczne ustalono, że roczny przychód ze sprzedaży produktów (oznaczamy go zmienną \(PRZ\)) i ponoszony koszt uzyskania przychodu (zmienna \(K\)) można z dobrym przybliżeniem opisać za pomocą rozkładu Bernoulliego \(B(n, p)\) dla odpowiednio dobranych parametrów \(n\) i \(p\). Po wnikliwej analizie ustalono, że wspomniany przychód i koszt (w zł) można przedstawić za pomocą następujących zmiennych losowych: \(PRZ = 200000 \cdot X\), \(K=K_{0}+10000 \cdot Y\), gdzie \(K_{0}=15000\) [zł] oznacza roczne tzw. koszty stałe działalności firmy, a zmienne losowe \(X\) i \(Y\) podlegają rozkładowi Bernoulliego \(X \sim B(20, 0,1)\), \(Y \sim B(10, 0,05)\). Oznaczmy przez Z roczny zysk brutto tej firmy, który można przedstawić jako \(Z = PRZ - K\).
Proszę zaznaczyć odpowiedzi prawdziwe [...]

Mamy oczywiście podpunkty b, d - ale je pominę, bo nie miałem z nimi szczególnego problemu:

Spoiler

[...]
b) Oczekiwany roczny zysk brutto w tej firmie wynosi 380 000 zł
[...]
d) Odchylenie standardowe rocznego kosztu uzyskania przychodu tej firmy rośnie wraz z rosnącymi kosztami stałymi \(K_{0}\)

Szkopuł w tym, iż niezbyt wiem jak zabrać się za podpunkty a) i c), który brzmią następująco:

a) Prawdopodobieństwo, że roczny przychód ze sprzedaży w tej firmie osiągnie dokładnie 200 000 zł wynosi przynajmniej \(0,25\).
[...]
c) Prawdopodobieństwo, że roczny koszt uzyskania przychodu firmy przekroczy 15 000 zł wynosi mniej niż \(0,45\).

Nie do końca rozumiem jak obliczyć te prawdopodobieństwa z danych w takiej formie.
Byłbym wdzięczny za wytłumaczenie zadania, bądź wskazówki

[janusz55]

a)
\( PRZY = 200000\cdot X\)

\( X\sim \mathcal{B}(20;0,1),\)

\( PRZY =200000 = 200000\cdot 1 \)

Stąd

Stąd \( \{X = 1\} \)

\( P(\{X=1\}) = {20 \choose1}\cdot 0.1^{1} \cdot 0,9^{19} \approx 0,27 >0,25 \) - PRAWDA

Program R

Kod: Zaznacz cały

 P1 = choose(20,1)*0.1*0.9^19
> P1
[1] 0.2701703

b)
\( E(Z) = E(PRZY - K) = E(PRZY) - E(K) = E(200000\cdot X -15000 - 10000\cdot Y) \)

\( E(X) = 20\cdot 0,1 = 2. \ \ E(Y) = 10\cdot 0,05 = 0,5.\)

\( E(Z) = E(20000)\cdot E(X) - E(15000) - 10000E(Y) =200000\cdot 2 -15000 - 10000 \cdot 0,5 = 400000 -15000 -5000 = 380000.\) - PRAWDA

c)
\( P(\{PRZY >15000\}) = P(\{200000\cdot X> 15000\}) = P\left(\{X >\frac{15}{200}\} \right) = 1 - P(\{X\leq 0,075\}) = 1 - P(\{ 0< X < 1\}) =\)
\( = 1 - {20\choose 1}\cdot 0,1\cdot 0,9^{19} + {20\choose 0}\cdot 0,1^{0}\cdot 0,9^{20} \approx 0,85 >0,45\)- BŁĄD W ODPOWIEDZI.

Program R

Kod: Zaznacz cały

 P2 = 1 -choose(20,1)*0.1*(0.9)^19 + choose(20,0)*0.9^20
> P2
[1] 0.8514063

d)
\( \sigma(K_{0}) = \sqrt{\sigma^2(K_{0})} = \sqrt{\sigma^2(15000)} = 0 \) -NIEPRAWDA.