cięciwy

[anilewe_MM]

W okręgu o promieniu R cięciwy AB i CD przecinają się w punkcie P. Oblicz miarę kata między tymi cięciwami, jeśli \(|AC|^2+|BD|^2=4R^2\)

[janusz55]

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=67843

[Jerry]

Wg mnie, elementarnie:

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

   

2. Z \( \Delta ABD,\ \Delta ACD\) i tw. Snelliusa (wzór sinusów):
   \[|BD|=2R\sin\alpha,\ |AC|=2R\sin\beta\]
3. Z warunku zadania:
   \[4R^2\sin^2\alpha+4R^2\sin^\beta=4R^2\\
   \sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\]
   i problem jest trygonometryczny:
   \[\sin^2\alpha=\cos^2\beta\\
   \sin^2\alpha-\sin^2\left({\pi\over2}-\beta\right)=0\\
   \sin\left(\alpha-{\pi\over2}+\beta\right)\sin\left(\alpha+{\pi\over2}-\beta\right)=0\\
   (\alpha-{\pi\over2}+\beta=k\pi \vee \alpha+{\pi\over2}-\beta=k\pi) \wedge k\in\zz\]
   Dla \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) kątów trójkąta mamy:
   \[\alpha-{\pi\over2}+\beta=0 \vee |\alpha-\beta|={\pi\over2}\\
   \gamma={\pi\over2}\vee \color{blue}{(*)}\]

Pojawiła się oboczność (*): gdyby ona zaszła - cięciwy \(\overline{AB},\ \overline {CD}\) nie przetną się!

Uwaga: Korzystałem z

\[\sin^2x-\sin^2y=\sin(x-y)\sin(x+y)\]

Pozdrawiam

[anilewe_MM]

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=67843

To jest nieczytelne, zamiast tekstu jakieś krzaczki . A szukajkę - znam!
A co do drugiej wiadomości: twierdzenie sinusów opowiada o promieniu okręgu opisanego na trójkącie :p