arcctg

[Lipus]

\(\Lim_{x\to0^{+}}\dfrac{ax+\arcctg {1\over x}}{ax}\)


czy ktos moze pomoc?

[radagast]

lim (ax + arcctg (1/x) ) / (ax)
\(x->0^{+}\)

Próbuję zgadnąć jak to miało być
jeśli tak:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{ax + \arcctg\frac{1} {x}}{x} \)
To ta granica nie istnieje więc pewnie nie...

[Lipus]

No w mianowniku ax

Ale jak pokazać że nie istnieje? I mi z kalkulatorów wychodziło chyba że istnieje tylko nie wiem jak to pokazać

[janusz55]

\( \lim_{x\to 0^{+}} \frac{ax + \arctg\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = \lim_{x\to 0^{+}}( a) + \lim_{x\to 0^{+}}\left( \frac{\arctg\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\right) =\left[ t = \frac{1}{x}, \ \ x = \frac{1}{t}\right] = \lim_{t \to +\infty} a + \lim_{t\to +\infty} t\cdot \arctg(t) = a + \infty = \infty.\)

[Jerry]

Ponieważ dla \(a\ne0\) mamy:
\(g=\Lim_{x\to0^{+}}\dfrac{ax+\arcctg {1\over x}}{ax}=\Lim_{x\to0^{+}}\left(1+{1\over a}\cdot\frac{\arcctg {1\over x}}{x}\right)\)
to policzmy
\(\Lim_{x\to0^+}\frac{\arcctg {1\over x}}{x}=\Lim_{t\to0^+}\frac{t}{\tg t}=1\)
bo
\(\left(\arcctg {1\over x}=t\nad{x\to0^+}{\longrightarrow}0^+\right)\So\left( {1\over x}=\ctg t\iff x=\tg t\right)\)
a ostatnia granica jest trywialna. Ostatecznie:
\(g=1+{1\over a}\)

Pozdrawiam
PS. janusz55: pora zacząć pisać czytelnie granice w kodzie \(\LaTeX\):

Kod: Zaznacz cały

\Lim_{x\to0^+}f(x)

[Lipus]

tg(arcctg(1/x) = x? czemu tak jest?

[Lipus]

znaczy rozumiem to ze lim arcctg 1/x = 0 ale tam dalej juz nie wiem do konca

[janusz55]

Zapis dążności zmiennej przed granicą też jest stosowany.

Ważniejszą kwestią jest, aby nie gmatwać prostych do obliczenia granic.

Ta równość \(\tg( \arctg(\frac{1}{x})) \neq x \) nie jest prawdziwa.

\( \tg( \arctg\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}.\)

[Jerry]

tg(arcctg(1/x) = x? czemu tak jest?

To jest pytanie do mnie? Jeśli tak, to
\[\arcctg {1\over x}=t\\ \ctg\left(\arcctg {1\over x}\right)=\ctg t\\ {1\over x}=\ctg t\\ x=\frac{1}{\ctg t}\\ x= \tg t\]
Pozdrawiam

[edited]

Ta równość \(\tg( \arctg(\frac{1}{x})) \neq x \) nie jest prawdziwa.

Ja widzę różność, i jest w większości przypadków prawdziwa. A poza tym nigdzie tak nie napisałem!