granica

[Lipus]

x)
\( \Lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{3} \right)^{\tg x} \)


bo wiem ze tg w pi drugich nie ma granicy z obu stron jedna plus nieskonczonosc a druga plus. Czy moze byc 1/3 do potegi plus minus nieskonczonosc czy nie mozna tak podniesc? Bo wtedy by w teorii wyszly jakies liczby. Czy ktos moglby krok po kroku pokazac jak to rozwiazac?

[janusz55]

Ta granica nie istnieje, bo granice jednostronne

\( \Lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} = 0, \)

\( \Lim_{x\to \frac{\pi}{2}^{+}} \left(\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} = \infty. \)

są różne.

[Lipus]

tak ja wiem ale zastanawiam sie jak to udowodnic ze jedno jest 0 a drugie nieskonczonosc obliczeniami albo jak to pokazac?

[janusz55]

Z wykresów dwóch fragmentów tangensoid dla przedziałów:\( \left( 0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right).\)

[Lipus]

no tak i tangengs dla tego pi przez 2
z lewej dazy do plus nieskonczonosci
a z prawej do minus nieskonczonosci
tylko mnie zastanawia mnie jak dojsc do tego algebraicznie bo nie moge chyba napisac 1/3 do potegi nieskonczonosci i sie zastanawiam. Bo jakos do tego doszedles ze w jednym z przypadkow jest zero.

[Jerry]

\( a^{\infty} = \infty,\) dla każdego \( a\in \rr{+} \)

\( a^{-\infty} = \frac{1}{a^{\infty}} = \frac{1}{\infty} = 0.\)

Radosnej twórczości usera ciąg dalszy...

Oficjalna wersja "obrazkowa", patrz wiersz trzeci

[janusz55]

Tą granicę nie możemy obliczyć "bez oficjalnej wersji obrazkowej."

Niech

\( g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)}. \)

Biorąc logarytm naturalny funkcji \( g(x) \) mamy

\( f(x) = \ln(g(x)) = \ln\left (\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} = \tg(x)\ln\left(\frac{1}{3}\right). \)

Liczba \( \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -1,096<0 \)

Stąd

\( \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{-}} f(x) = \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{-}} \ln\left(\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} =
\lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{-}} \tg(x)\ln \left(\frac{1}{3}\right) = -\infty.\)

\(\lim_{x\to (\frac{\pi}{2}) ^{+}} f(x) = \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{+}} \ln\left (\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} = \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{+}} \tg(x)\ln\left(\frac{1}{3}\right) = +\infty. \)

Tylko, że to są granice funkcji \( f(x) = \ln(g(x)) \) a nie \( g(x). \)

Granica funkcji \( g(x) \) przy \( x \rightarrow -\frac{\pi}{2} \) jest równa \( 0, \) a nie \( +\infty.\)

[Jerry]

Proponuje, jako argument, Wykres danej funkcji.

Pozdrawiam

[janusz55]

Wykres funkcji powinien być argumentem potwierdzającym, nie głównym obliczenia granicy.

Metody analityczne obliczania granic są argumentami podstawowymi.

\( f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} = e^{\tg(x)\ln\left(\frac{1}{3}\right)} = e^{g(x)}. \)

\( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} g(x)= \lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^{-}} \tg(x) \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\infty.\)

\( \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{+}} g(x)= \lim_{x\to (\frac{\pi}{2})^{+}} \tg(x) \ln\left(\frac{1}{3}\right) = +\infty.\)

Z ciągłości funkcji exponent wynika, że granice funkcji \( f(x) \) \przy \( x \rightarrow \mp \frac{\pi}{2} \) wynoszą odpowiednio \( e^{-\infty} = 0, \ \ e^{+\infty} = +\infty.\)

[Lipus]

nie rozumiem czy jest jakis problem w takim zapisie typu
\(a^{ \infty }\)

czy mozna je stosowac bez problemu i tak to zadanie rozwiazac jak pisal pan janusz o 23:16 ?
zgodnie z zasadami wielkosci podstawy ktore podaliscie w linku z etrapeza

I mam pytanie czy jest jakis problem z zapisem typu nieskonczonosc do potegi jakiejs liczby np. 3 czy to po prostu nieskonczonosc a np -3 to 0? Chodzi mi o granice. Czy taki zapis nie jest w pewnym sensie nielegalny ?

[Jerry]

czy mozna je stosowac bez problemu i tak to zadanie rozwiazac jak pisal pan janusz o 23:16 ?

Nie można, bo post ten głosi nieprawdę!

...zgodnie z zasadami wielkosci podstawy ktore podaliscie w linku z etrapeza

Na to jest zgoda!

Pozdrawiam

[Lipus]

\(\Lim_{x\to {\frac{π}{2}^{-} }} (\frac{1}{3})^{tgx} = \Lim_{x\to {\frac{π}{2}^{-} }} (\frac{1}{3})^{ \infty } = 0 \)

\(\Lim_{x\to {\frac{π}{2}^{+} }} (\frac{1}{3})^{tgx} = \Lim_{x\to {\frac{π}{2}^{+} }} (\frac{1}{3})^{ -\infty } = \infty \)
czy tak jest ok??

[Jerry]

Raczej tak:
\[\Lim_{x\to {\frac{π}{2}^{-} }} \left(\frac{1}{3}\right)^{\tg x} = \left[ \left(\frac{1}{3}\right)^{ +\infty } \right]= 0 \\
\Lim_{x\to {\frac{π}{2}^{+} }} \left(\frac{1}{3}\right)^{\tg x} = \left[ \left(\frac{1}{3}\right)^{ -\infty } \right]= \infty \]
Pozdrawiam

[janusz55]

Lipus

\( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2}^{-})} \left(\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} = \lim_{x\to (\frac{\pi}{2}^{-})} e^{\tg(x) \ln\left(\frac{1}{3}\right)} = e^{\lim_{x\to (\frac{\pi}{2}^{-})} \tg(x)\ln\left(\frac{1}{3}\right)} = e^{-\infty} = \frac{1}{e^{\infty}} = 0 \)

\( \lim_{x \to (\frac{\pi}{2}^{+})} \left(\frac{1}{3}\right)^{\tg(x)} = \lim_{x\to (\frac{\pi}{2}^{+})} e^{\tg(x) \ln\left(\frac{1}{3}\right)} = e^{\lim_{x\to (\frac{\pi}{2}^{+})} \tg(x)\ln\left(\frac{1}{3}\right)} = e^{+\infty} = +\infty.\)

Skorzystaliśmy z ciągłości funkcji exponent i własności granicy funkcji złożonej.