\( \cos x+ \tg x- \sin x-1 \le 0\)
Jak to zrobić?
Nierówność trygonometryczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
Zauważ,że
\[f(x)= \cos x+ \tg x- \sin x-1 =(\cos x-\sin x)+(\tg x -1)=\cos x(1-\tg x)-1\cdot(1-\tg x)=\\\qquad=(1-\tg x)(\cos x -1)\wedge \cos x\ne0\]
Aby \(f(x)\le0\) trzeba i wystarczy:
\[1-\tg x=0\vee \cos x-1=0\vee\begin{cases}1-\tg x<0\\\cos x-1>0\end{cases}\vee\begin{cases}1-\tg x>0\\\cos x-1<0\end{cases}\\
\tg x=1\quad\vee \quad\cos x=1\quad\vee\quad x\in\emptyset\quad\vee\quad \begin{cases}\tg x<1\\\cos x\ne1\end{cases}\\
\left(x={\pi\over4}+k\cdot\pi\quad\vee x=k\cdot2\pi\quad\vee\quad x\in\emptyset\quad\vee\quad\begin{cases}-{\pi\over2}+k\cdot\pi<x<{\pi\over4}+k\cdot\pi\\x\ne k\cdot2\pi\end{cases}\right)\wedge k\in\zz\\
\left(-{\pi\over2}+k\cdot\pi<x\le{\pi\over4}+k\cdot\pi\right)\wedge k\in\zz\]
Pozostaje sprawdzić z dziedziną i napisać odpowiedź
Pozdrawiam
PS. To problem na poziomie "studia"
\[f(x)= \cos x+ \tg x- \sin x-1 =(\cos x-\sin x)+(\tg x -1)=\cos x(1-\tg x)-1\cdot(1-\tg x)=\\\qquad=(1-\tg x)(\cos x -1)\wedge \cos x\ne0\]
Aby \(f(x)\le0\) trzeba i wystarczy:
\[1-\tg x=0\vee \cos x-1=0\vee\begin{cases}1-\tg x<0\\\cos x-1>0\end{cases}\vee\begin{cases}1-\tg x>0\\\cos x-1<0\end{cases}\\
\tg x=1\quad\vee \quad\cos x=1\quad\vee\quad x\in\emptyset\quad\vee\quad \begin{cases}\tg x<1\\\cos x\ne1\end{cases}\\
\left(x={\pi\over4}+k\cdot\pi\quad\vee x=k\cdot2\pi\quad\vee\quad x\in\emptyset\quad\vee\quad\begin{cases}-{\pi\over2}+k\cdot\pi<x<{\pi\over4}+k\cdot\pi\\x\ne k\cdot2\pi\end{cases}\right)\wedge k\in\zz\\
\left(-{\pi\over2}+k\cdot\pi<x\le{\pi\over4}+k\cdot\pi\right)\wedge k\in\zz\]
Pozostaje sprawdzić z dziedziną i napisać odpowiedź
Pozdrawiam
PS. To problem na poziomie "studia"
