Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród 400 losowo wybranych osób dokładnie dwie są
urodzone 31 grudnia? Zakładamy, że rok ma 365 dni.
Do obliczeń przybliżonych wykorzystaj fakt że :
jeśli \(np_n\to\lambda > 0\), to dla ustalonego \(k \in N\) mamy:
\({n \choose k}(p_n)^k(1-p_n)^{(n-k)} \to \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\)
Prawdopodobieństwo - studia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2123
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 502 razy
Re: Prawdopodobieństwo - studia
Mamy do czynienia z dużą \( n = 400 \) ilością niezależnych prób Bernoullego z jednakowo małym prawdopodobieństwem \( (p = \frac{1}{365}< 0,1) \)
\( P = {400\choose 2}\left(\frac{1}{365}\right)^2\left(\frac{364}{365}\right)^{398} \approx 0,2010.\)
W takich przypadkach rozkład Bernoullego przybliżamy rozkładem Poissona z parametrem \( \lambda = n\cdot p.\)
W tym przypadku liczba sukcesów ma w przybliżeniu rozkład Poissona z parametrem \( \lambda = n\cdot p = 400\cdot \frac{1}{365} = \frac{80}{73}.\)
\( P(2) = \exp(-\frac{80}{73})\frac{\left(\frac{80}{73}\right)^2}{2!} \approx 0,2007.\)
Program R
\( P = {400\choose 2}\left(\frac{1}{365}\right)^2\left(\frac{364}{365}\right)^{398} \approx 0,2010.\)
W takich przypadkach rozkład Bernoullego przybliżamy rozkładem Poissona z parametrem \( \lambda = n\cdot p.\)
W tym przypadku liczba sukcesów ma w przybliżeniu rozkład Poissona z parametrem \( \lambda = n\cdot p = 400\cdot \frac{1}{365} = \frac{80}{73}.\)
\( P(2) = \exp(-\frac{80}{73})\frac{\left(\frac{80}{73}\right)^2}{2!} \approx 0,2007.\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> P = choose(400,2)*(1/365)^2*(364/365)^(398)
> P
[1] 0.2010054
> P2 = exp(-80/73)*(80/73)^2/2
> P2
[1] 0.2007082