Zbadaj czy ciąg jest ograczniony z góry z dołu
\(a_n = 2 − \sqrt n\)
Ograniczenie ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Ograniczenie ciągu
Czyli wychodzi że od dołu nie jest ograniczony a od góry jest ograniczony w 2 dobrze rozumiem?
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Ograniczenie ciągu
z góry przez \(1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Ograniczenie ciągu
Przecież masz napisane:
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1647
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 428 razy
Re: Ograniczenie ciągu
Mamy zbadać, czy ciąg \( (a_{n}) = (2- \sqrt{n}) \) jest ograniczony z góry i z dołu.
Sposób 1
Jeżeli ciąg \( (a_{n}) \) jest ograniczony z góry, wtedy istnieje liczba naturalna \( M \) , że prawdziwe jest zdanie:
\( \forall_{n\in \nn} (2 -\sqrt{n} \leq M) \) dla każdego naturalnego \( n.\)
Skoro nierówność ta zachodzi dla każdego naturalnego \( n, \) to w szczególności zachodzi dla \( n = M. \)
Mamy zatem następującą nierówność:
\( 2 - \sqrt{M} \leq M, \)
Rozwiązując ją równoważnie
\( (\sqrt{M})^2 + \sqrt{M} -2 \geq 0,\)
Kładąc
\( \sqrt{M} = x >0, \)
\( x^2 + x -2 \geq 0 \)
\( (x+2)(x-1) \geq 0 \)
\( x \geq 1 \)
\( \sqrt{M} \geq 1,\)
\( M \geq 1. \)
Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, wystarczy przyjąć \( n \geq 1.\)
Sposób 2
Mamy dowieść prawdziwości zdania:
\( \forall_{M} \exists_{n} ( 2 - \sqrt{n} \leq M).\)
Przekształcając nierówność równoważnie, otrzymujemy:
\( \sqrt{n} \geq (2 - M) \)
\( n \geq (M-2)^2 \) - zdanie prawdziwe.
Sposób 3
Załóżmy, że ciąg \( (a_{n})= (2 -\sqrt{n}) \) nie jest ograniczony z góry. To oznacza , że \( a_{n} \rightarrow \infty \) gdy \( n \rightarrow \infty, \)
\( 2 -\sqrt{n} = \frac{4 -n}{2 +\sqrt{n}}= \frac{\frac{4}{n} -1}{\frac{2}{n} + \sqrt{\frac{1}{n}}} \rightarrow -\infty \)
Otrzymaliśmy sprzeczność - ciąg jest więc ograniczony z góry.
Podobnie, korzystając z definicji dowodzimy nieograniczoność ciągu z dołu.
Ta nieograniczoność wynika bezpośrednio z definicji w sposobie 3.
Sposób 1
Jeżeli ciąg \( (a_{n}) \) jest ograniczony z góry, wtedy istnieje liczba naturalna \( M \) , że prawdziwe jest zdanie:
\( \forall_{n\in \nn} (2 -\sqrt{n} \leq M) \) dla każdego naturalnego \( n.\)
Skoro nierówność ta zachodzi dla każdego naturalnego \( n, \) to w szczególności zachodzi dla \( n = M. \)
Mamy zatem następującą nierówność:
\( 2 - \sqrt{M} \leq M, \)
Rozwiązując ją równoważnie
\( (\sqrt{M})^2 + \sqrt{M} -2 \geq 0,\)
Kładąc
\( \sqrt{M} = x >0, \)
\( x^2 + x -2 \geq 0 \)
\( (x+2)(x-1) \geq 0 \)
\( x \geq 1 \)
\( \sqrt{M} \geq 1,\)
\( M \geq 1. \)
Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, wystarczy przyjąć \( n \geq 1.\)
Sposób 2
Mamy dowieść prawdziwości zdania:
\( \forall_{M} \exists_{n} ( 2 - \sqrt{n} \leq M).\)
Przekształcając nierówność równoważnie, otrzymujemy:
\( \sqrt{n} \geq (2 - M) \)
\( n \geq (M-2)^2 \) - zdanie prawdziwe.
Sposób 3
Załóżmy, że ciąg \( (a_{n})= (2 -\sqrt{n}) \) nie jest ograniczony z góry. To oznacza , że \( a_{n} \rightarrow \infty \) gdy \( n \rightarrow \infty, \)
\( 2 -\sqrt{n} = \frac{4 -n}{2 +\sqrt{n}}= \frac{\frac{4}{n} -1}{\frac{2}{n} + \sqrt{\frac{1}{n}}} \rightarrow -\infty \)
Otrzymaliśmy sprzeczność - ciąg jest więc ograniczony z góry.
Podobnie, korzystając z definicji dowodzimy nieograniczoność ciągu z dołu.
Ta nieograniczoność wynika bezpośrednio z definicji w sposobie 3.