Granica ciągu

[zaba123]

Jak uporać się z granicą ciągu \(a_n=n^2\cdot\ln (1+\frac{1}{n})-n \)?

[radagast]

Jak uporać się z granicą ciągu \(a_n=n^2\cdot\ln (1+\frac{1}{n})-n \)?

\(n^2\cdot\ln (1+\frac{1}{n})-n= \frac{\ln(1+ \frac{1}{n})^n-1 }{ \frac{1}{n} } \)

\( \Lim_{x\to \infty } \frac{\ln(1+ \frac{1}{x})^x-1 }{ \frac{1}{x} } =^H=\Lim_{x\to \infty }\frac{(\ln(1+ \frac{1}{x})^x-1)' }{( \frac{1}{x})' } =\Lim_{x\to \infty }\frac{(x\ln(1+ \frac{1}{x})-1)' }{-\frac{1}{x^2}} =\Lim_{x\to \infty } \frac{\ln(1+ \frac{1}{x})+x \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } \cdot (- \frac{1}{x^2} ) }{-\frac{1}{x^2}}= \Lim_{x\to \infty } \frac{\ln(1+ \frac{1}{x})- \frac{1 }{x+ 1 } }{-\frac{1}{x^2}} =\Lim_{x\to \infty }\frac{ \frac{1 }{x+ 1 }-\ln(1+ \frac{1}{x}) }{\frac{1}{x^2}}=^H\\=\Lim_{x\to \infty }\frac{ -\frac{1 }{(x+ 1)^2 }- \frac{1}{1+ \frac{1}{x}} \cdot (- \frac{1}{x^2}) }{-\frac{2}{x^3}}=\Lim_{x\to \infty }\frac{ -\frac{x^3 }{(x+ 1)^2 }+ \frac{x^2}{1+x} }{-2}=\Lim_{x\to \infty }\frac{ -\frac{x^3 }{(x+ 1)^2 }+ \frac{x^2+x^3}{(1+x)^2} }{-2}=\Lim_{x\to \infty }\frac{ \frac{x^2}{(1+x)^2} }{-2}=- \frac{1}{2} \)

[zaba123]

niestety de l'hospitala nie możemy jeszcze :/

[radagast]

Tego się obawiałam ! Niestety bez de l'Hopitala nie umiem (na razie ale jeszcze pomyślę)

[zaba123]

już mam rozwiązanie, ale dziękuję za chęci <3 dało się stolzem, w mianowniku powinno być 1/n^2 i łatwo idzie