Jakie założenia powinny być uwzględnione w przypadku tych równań i dlaczego takie?
a) \( \frac{\ctg x +1}{\ctg x -1}= \frac{\tg x+1}{1-\tg x} \)
b) \(\tg x +\ctg x =3\)
I jeszcze jeśli \(1+\sin x\neq 0\) oraz \(\cos x\neq 0\) to \(x \in \rr \bez {?} \)
Czy nie powinno być tak? \(x \in \rr \bez \left\{ { \frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi } \right\} \)
Założenia na x
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Założenia na x
- \(\sin x\ne 0\), żeby \(\ctg x\) istniał,
- \(\ctg x\ne 1\), żeby istniał ułamek lewej strony równania,
- \(\cos x\ne0\), żeby \(\tg x\) istniał,
- \(\tg x\ne1\), żeby ułamek prawej strony równania istniał.
PS. To równanie, w swojej dziedzinie, jest tożsamością
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Założenia na x
Z powodów jak wyżej:
\(D=\{x\in\rr; \sin x\ne0\wedge\cos x\ne0\}=\rr\setminus\bigcup\limits_{k\in\zz}\{k\cdot{\pi\over2}\}\)
Pozdrawiam
PS.
\(t+{1\over t}=3\iff (t^2-3t+1=0\wedge t\ne0)\\
t={3-\sqrt5\over2}\vee t={3+\sqrt5\over2}\\
(x=\arctg{3-\sqrt5\over2}+k\cdot\pi\vee x=\arctg{3+\sqrt5\over2}+k\cdot\pi)\wedge k\in\zz\)
t={3-\sqrt5\over2}\vee t={3+\sqrt5\over2}\\
(x=\arctg{3-\sqrt5\over2}+k\cdot\pi\vee x=\arctg{3+\sqrt5\over2}+k\cdot\pi)\wedge k\in\zz\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Założenia na x
Zauważ, że jeżeli \(\cos x\neq 0\), to z "jedynki" \(|\sin x|\ne 1\) i warunek \(1+\sin x\neq 0\) jest spełnione. Zatem wystarczy
\[x\in\rr\setminus\bigcup\limits_{k\in\zz}\left\{{\pi\over2}+k\cdot\pi\right\}\]
chociaż Twoja wersja nie jest niepoprawna, tylko... "brzydka"?
Pozdrawiam
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 94
- Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
- Podziękowania: 55 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
Re: Założenia na x
A dlaczego np \(x\) musi być różne od \( \frac{\pi}{2} \)? Przecież wtedy tylko kosinus przyjmuje wartość zero, sinus wartość jeden. A chyba upraszczając to z sinusem to wychodzi że sinus musi być różny od minus jeden a nie same jedynki?
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Założenia na x
Jeżeli kosinus jest w mianowniku to musi być różny od zera
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę ![👍](//cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@latest/assets/svg/1f44d.svg)
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Założenia na x
jeżeli \(\cos x\neq 0\) to sinus nie będzie równy jeden - wynika to z jedynki trygonometrycznej
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę ![👍](//cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@latest/assets/svg/1f44d.svg)