Dwóch graczy gra w tenisa do momentu, aż jeden z nich wygra dwa sety pod rząd lub
rozegrają 5 setów i wtedy zwycięzcą zostaje ten kto wygrał większą ilość setów. Zakładamy,
że wyniki setów, są niezależne oraz prawdopodobieństwo wygrania seta dla pierwszego
gracza wynosi 0 < p < 1.
1. "Obliczyć prawdopodobieństwo, że zagrają mniej niż 5 setów."
2. "Rozegrano 5 setów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cały mecz wygrał pierwszy gracz?"
matematiks
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2123
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 502 razy
Re: matematiks
Oznaczenia :
\( A \) -zdarzenie "pierwszy gracz wygrał seta,"
\( B\) - zdarzenie " drugi gracz wygrał seta."
Mecz tenisowy graczy \( A, B \) modelujemy rozkładem geometrycznym o parametrach \( \mathcal{Geo}(p, 5).\)
1.
\( \{S < 5\} \) - zdarzenie " gracze rozegrali mniej niż pięć setów".
\( P(\{S<5\}) = P(AA) + P(BB) + P(BAA) + P(ABB) + P(ABAA) + P(BABB), \)
\( P(\{S<5\}) = p^2 + (1-p)^2 + + p^2(1-p) + p(1-p)^2+ p^3(1-p) + p(1-p)^3 = \)
\( = p^2 +1 -2p +p^2 + p^2 - p^3 +p -2p^2 + p^3 + p^3 - p^4 + p -3p^2+3p^3+p^4 = 4p^3 -2p^2 +1.\)
2.
\( \{S = 5\} \) - zdarzenie " gracze rozegrali pięć setów".
\( P(\{S=5\}) = P(ABABA) + P(BABAB) + P(ABABB) + P(BABAA), \)
\( P(\{S = 5\}) = p^3(1-p)^2 + p^2(1-p)^3 + p^2(1-p)^3 + p^3(1-p)^2 = 2p^3(1-p)^2 +2p^2(1-p)^3 =\)
\( = 2p^3 -4p^4 +2p^5 +2p^2 -6p^3 +6p^4 -2p^5 = 2p^4 - 4p^3 +2p^2 = 2p^2(p^2 - 2p + 1) = 2p^2(p-1)^2. \)
Z określenia prawdopodobieństwa warunkowego dla dwóch zdarzeń:
\( P(A \ \ wygrał \ \ cały \ \ mecz \ \ pod \ \ warunkiem, \ \ że \ \ rozegrano \ \ pięć \ \ setów) = P(\{ A \ \ wygrał |\{S = 5\}) = \frac{P(A \ \ wygrał \ \ i \ \ \{S=5 \})}{P(\{S=5\})}= \frac{2p^3(1-p)^2}{2p^2(p-1)^2} = p.\)
\( A \) -zdarzenie "pierwszy gracz wygrał seta,"
\( B\) - zdarzenie " drugi gracz wygrał seta."
Mecz tenisowy graczy \( A, B \) modelujemy rozkładem geometrycznym o parametrach \( \mathcal{Geo}(p, 5).\)
1.
\( \{S < 5\} \) - zdarzenie " gracze rozegrali mniej niż pięć setów".
\( P(\{S<5\}) = P(AA) + P(BB) + P(BAA) + P(ABB) + P(ABAA) + P(BABB), \)
\( P(\{S<5\}) = p^2 + (1-p)^2 + + p^2(1-p) + p(1-p)^2+ p^3(1-p) + p(1-p)^3 = \)
\( = p^2 +1 -2p +p^2 + p^2 - p^3 +p -2p^2 + p^3 + p^3 - p^4 + p -3p^2+3p^3+p^4 = 4p^3 -2p^2 +1.\)
2.
\( \{S = 5\} \) - zdarzenie " gracze rozegrali pięć setów".
\( P(\{S=5\}) = P(ABABA) + P(BABAB) + P(ABABB) + P(BABAA), \)
\( P(\{S = 5\}) = p^3(1-p)^2 + p^2(1-p)^3 + p^2(1-p)^3 + p^3(1-p)^2 = 2p^3(1-p)^2 +2p^2(1-p)^3 =\)
\( = 2p^3 -4p^4 +2p^5 +2p^2 -6p^3 +6p^4 -2p^5 = 2p^4 - 4p^3 +2p^2 = 2p^2(p^2 - 2p + 1) = 2p^2(p-1)^2. \)
Z określenia prawdopodobieństwa warunkowego dla dwóch zdarzeń:
\( P(A \ \ wygrał \ \ cały \ \ mecz \ \ pod \ \ warunkiem, \ \ że \ \ rozegrano \ \ pięć \ \ setów) = P(\{ A \ \ wygrał |\{S = 5\}) = \frac{P(A \ \ wygrał \ \ i \ \ \{S=5 \})}{P(\{S=5\})}= \frac{2p^3(1-p)^2}{2p^2(p-1)^2} = p.\)