Funkcje trygnometryczne kąta ostrego.

[mosdef21]

Dany jest trapez prostokątny o przyprostokątnych równych kolejno 41 cm i 51 cm. Oblicz funkcje trygononetryczne kąta ostrego tym trapezie.

[Jerry]

Dany jest trapez prostokątny o przyprostokątnych równych kolejno 41 cm i 51 cm.

Ja Ci nie pomogę, może podaj oryginalną treść zadania...

Pozdrawiam

[mosdef21]

Miało być ... o przekątnych

[eresh]

Miało być ... o przyprostokątnych

A gdzie trapez ma przyprostokątne?

[mosdef21]

Miało być ... o przyprostokątnych

A gdzie trapez ma przyprostokątne?

Kolejny raz to samo przepraszam za to lekkie upośledzenie umysłowe już poprawiłem.

[mosdef21]

Teraz może ktoś pomóc?

[Jerry]

Wg mnie treść zadania nie jest kompletna, jest mnóstwo takich trapezów... Rozstrzygnijmy problem jako funkcję wysokości danego trapezu:
Przy standardowych oznaczeniach, z tw. Pitagorasa mamy:
\[\begin{cases}a=\sqrt{2601-h^2}\\b=\sqrt{1681-h^2}\end{cases}\wedge 0<h<41\]
i z definicji:
\[\tg\alpha=\frac{h}{a-b}=\ldots=\frac{h\cdot(\sqrt{2601-h^2}+\sqrt{1681-h^2})}{920}\]
Do wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych blisko, ale rachunkowo - koszmarek...

Pozdrawiam

[mosdef21]

Wg mnie treść zadania nie jest kompletna, jest mnóstwo takich trapezów... Rozstrzygnijmy problem jako funkcję wysokości danego trapezu:
Przy standardowych oznaczeniach, z tw. Pitagorasa mamy:
\[\begin{cases}a=\sqrt{2601-h^2}\\b=\sqrt{1681-h^2}\end{cases}\wedge 0<h<41\]
i z definicji:
\[\tg\alpha=\frac{h}{a-b}=\ldots=\frac{h\cdot(\sqrt{2601-h^2}+\sqrt{1681-h^2})}{920}\]
Do wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych blisko, ale rachunkowo - koszmarek...

Pozdrawiam

A jeśli przekątna jest równa 50 a nie 51 to coś zmienia?

[eresh]

A jeśli przekątna jest równa 50 a nie 51 to coś zmienia?

wtedy \(a=\sqrt{2500-h^2}\) i tangens też się zmieni

[mosdef21]

A jak będą wyglądały poszczególne funkcje teraz?

[Jerry]

A jak będą wyglądały poszczególne funkcje teraz?

Dla kąta ostrego \(\alpha\), wobec \(\begin{cases}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\tg\alpha={\sin\alpha\over\cos\alpha}\end{cases}\), mamy:
\[\begin{cases} \cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}\\ \sin\alpha=\dfrac{t}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}\\\ctg\alpha=\dfrac{1}{\tg\alpha}\end{cases}\]
Pozdrawiam
PS. Sprawdziłeś oryginalność treści zadania?

[mosdef21]

To na zasadzie przypomnienia ze sprawdzianu. A masz jakiś pomysł jakie mogło być poprawne polecenie ale myślę że sens pytania jest zachowany.

[eresh]

To na zasadzie przypomnienia ze sprawdzianu. A masz jakiś pomysł jakie mogło być poprawne polecenie ale myślę że sens pytania jest zachowany.

Może była podana wysokość tego trapezu?

[anilewe_MM]

A gdyby w ten trapez można by było wpisać okrąg?

[Jerry]

Wróżenie z fusów się rozwija...

A gdyby w ten trapez można by było wpisać okrąg?

To by bardzo ułatwiło część planimetryczną zadania...

Zróbmy schludny rysunek i zauważmy, że przy powyższych oznaczeniach mamy:
\[\begin{cases}h=2r\\a=r+r\ctg{\alpha\over2}\\b=r+r\tg{\alpha\over2}\end{cases}\]
gdzie \(r>0\) jest promieniem okręgu wpisanego a \(\alpha\) kątem ostrym trapezu. Pozostaje rozwiązać równanie:
\[\frac{h^2+a^2}{h^2+b^2}=\frac{51^2}{41^2}\iff\frac{4+\left(1+{1\over t}\right)^2}{4+(1+t)^2}=\frac{51^2}{41^2}\]
gdzie \(0<t=\tg{\alpha\over2}\). I tu niestety jest gorzej... Wg wolframa:
\[t\approx0,65247\]
Pozostaje doliczyć:
\[\begin{cases}\tg\alpha=\frac{2t}{1-t^2}\approx\ldots\\\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}\approx\ldots\\\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}\approx\ldots\end{cases}\]
Pozdrawiam
PS. Gdyby dopasować długości przekątnych... np. dla \(2\sqrt{13}\) i \( 5\) mamy \(t=0,5\)