Cześć, szukam potwierdzenia czy dobrze rozumiem dziedzinę funkcji złożonej w nietrywialnym przypadku.
Weźmy na przykład:
\(a: X \longrightarrow Y, b: Y' \longrightarrow Z\)
wtedy:
\(
b \circ a: b(Y') \cap X \longrightarrow Z\)
\(a \circ b: Y' \cap a(X) \longrightarrow Y
\)
przy notacji takiej, że \((b \circ a)(x) = b(a(x))\)
plus oczywiście złożenie ma sens wtw gdy dziedzina złożenia jest niepusta.
Czy dobrze to zrozumiałem?
Dziedzina złożenia funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1572
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 413 razy
Re: Dziedzina złożenia funkcji
Niech funkcje \( a \) i \( b \) będą określone na przykład wzorami:
\( a(x) = -\log(x) \) i \( b(x) = -x^2. \)
Zbadamy czy istnieje złożenie funkcji \( a \) z funkcją \( b \) lub funkcji \( b \) z funkcją \( a. \)
W tym celu należy wyznaczyć najpierw zbiory: \( D_{a}, \ \ a(D_{a}), \ \ D_{b}, \ \ b(D_{b}). \)
\( D_{a} = \rr_{+}, \) ponieważ dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór \( \rr_{+}; \)
\( a(D_{a}) = \rr, \) ponieważ zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór \( \rr ; \)
\( D_{b} = \rr, \) ponieważ \( b \) jest funkcją kwadratową;
\( b(D_{b}) = \rr_{-} \cup \{0\},\) ponieważ dla każdego \( x\in \rr \) prawdziwa jest nierówność \( -x^2\leq 0.\)
Nie istnieje złożenie funkcji \( b \) z funkcją \( a, \ \ a\circ b \) ponieważ zbiór \( b(D_{b}) \) nie jest podzbiorem zbioru \( D_{a}, \ \ b(D_{b}) \nsubseteq D_{a}. \)
Natomiast \( a(D_{a}) \subseteq D_{b}. \) Istnieje złożenie funkcji \( (b\circ a)(x) = b(a(x))= b(\log(x))= -(\log(x))^2.\)
lub
\( (b\circ a)(x) = b(a(x))= -(a(x))^2 = -(\log(x))^2.\)
Istnieje złożenie dwóch funkcji rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej lub gdy te zbiory są równe.
\( a(x) = -\log(x) \) i \( b(x) = -x^2. \)
Zbadamy czy istnieje złożenie funkcji \( a \) z funkcją \( b \) lub funkcji \( b \) z funkcją \( a. \)
W tym celu należy wyznaczyć najpierw zbiory: \( D_{a}, \ \ a(D_{a}), \ \ D_{b}, \ \ b(D_{b}). \)
\( D_{a} = \rr_{+}, \) ponieważ dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór \( \rr_{+}; \)
\( a(D_{a}) = \rr, \) ponieważ zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór \( \rr ; \)
\( D_{b} = \rr, \) ponieważ \( b \) jest funkcją kwadratową;
\( b(D_{b}) = \rr_{-} \cup \{0\},\) ponieważ dla każdego \( x\in \rr \) prawdziwa jest nierówność \( -x^2\leq 0.\)
Nie istnieje złożenie funkcji \( b \) z funkcją \( a, \ \ a\circ b \) ponieważ zbiór \( b(D_{b}) \) nie jest podzbiorem zbioru \( D_{a}, \ \ b(D_{b}) \nsubseteq D_{a}. \)
Natomiast \( a(D_{a}) \subseteq D_{b}. \) Istnieje złożenie funkcji \( (b\circ a)(x) = b(a(x))= b(\log(x))= -(\log(x))^2.\)
lub
\( (b\circ a)(x) = b(a(x))= -(a(x))^2 = -(\log(x))^2.\)
Istnieje złożenie dwóch funkcji rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji wewnętrznej zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej lub gdy te zbiory są równe.