Lokalna asymptotyczna stabilność

[NoXyeS]

Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwiązanie równania
\(x^{IV} + 2x''' + 3ax'' + 2x' + ax = 0\)
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

Nie jestem pewna jak się rozwiązuje takie zadania?

[janusz55]

Najłatwiej, proszę zapisać równanie charakterystyczne równania różniczkowego i zastosować kryterium współczynników i wyznaczników- Hurwitza.

[NoXyeS]

\(r^4+2r^3+3ax^2+2r+a=0 \\
\\
\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 3a & 2 & 1 \\
0 & a & 2 & 3a \\
0 & 0 & 0 & a\end{bmatrix}
\\
W_1 = 2 > 0 \\
W_2 = 6a - 2 > 0 \So a > \frac{1}{3} \\
W_3 = 12a - 4a - 4 = 8a - 4 > 0 \So a > \frac{1}{2} \\
W_4 = 8a^2 - 4a > 0 \So a > 0 \wedge a > \frac{1}{2}
\)
Czyli:
\(a > \frac{1}{2}\)

Tak jest dobrze?

[janusz55]

Dobrze.

Z układu nierówności \( a>\frac{1}{2}. \)