Obliczyć sumę

[mosdef21]

\( {n \choose 0}+ \frac{1}{2} {n \choose 1}+ \frac{1}{3} {n \choose 2}+ \frac{1}{4} {n \choose 3}+...+ \frac{1}{n+1} {n \choose n}\)

[Jerry]

Po wypisaniu kilku początkowych wyrazów ciągu
\[a_n= {n \choose 0}+ \frac{1}{2} {n \choose 1}+ \frac{1}{3} {n \choose 2}+ \frac{1}{4} {n \choose 3}+...+ \frac{1}{n+1} {n \choose n}\]
można zauważyć, że
\[a_1=1+{1\over2}\cdot1={3\over2}={2^2-1\over2}\\
a_2=1+{1\over2}\cdot2+{1\over3}\cdot1={7\over3}={2\cdot2a_1+1\over2+1}={2^3-1\over3}\\
a_3=\ldots={15\over4}={2\cdot3a_2+1\over3+1}={2^4-1\over4}\\ \ldots\]
i postawić hipotezę:
\[a_1={3\over2}\wedge a_{n+1}={2(n+1)\cdot a_n+1\over n+2}\\
\text{oraz}\\
a_n={2^{n+1}-1\over n+1}\quad\text{ dla }\quad n\in\nn_+\]
Ale jej dowodu się nie podejmę...

Pozdrawiam

[janusz55]

\( (1+x)^{n} = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{k}, \)

\( \int_{0}^{1}(1+ x)^{n} dx = \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{k} \right) dx, \)

\( \left[\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\right ]_{0}^{1} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} \frac{1}{k+1},\)

\( \frac{2^{n+1}-1}{n+1} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}{ n\choose k}.\)