Wzór rekurencyjny

[Tomaszak]

Niech Jn bedzie ciagiem zdefiniowanym wzorami rekurencyjnymi:
J1 = 1; J2n+1 = 2 Jn + 1; J2n = 2 Jn - 1
Odpowiedz nanastepujace pytania.
(a) Ile wynosi J113?
(b) Dla jakich n, Jn = n?
(c) Dla jakich n, Jn < n?
(d) Dla jakich n, Jn = 11?

[Jerry]

Jeżeli

... \(J_1 = 1;\ J_{2n+1} = 2 J_n + 1;\ J_{2n} = 2 J_n - 1\) ...

To, na piechotę:
\((J_n)=(1,1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,9,11,13,15,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,1,\ldots)\)

Fakty:

• \(J_n=1\iff n=2^k\), gdzie \(k=0,1,2,3,\ldots\)
• można zauważyć podciągi arytmetyczne o różnicy \(r=2\)

(a) \(J_{113}=J_{64}+(113-64)\cdot2=99\)
(b) \(J_n = n\iff n=2^k-1\), gdzie \(k=1,2,3,4,\ldots\)
(c) \(J_n < n\) dla pozostałych \(n\)
(d) \(J_n = 11\iff n=2^k+5\), gdzie \(k=3,4,5,6,\ldots\)

Pozdrawiam

[Tomaszak]

Dzięki! A jest może jakiś sposób żeby wyliczyć te n (w b,c,d)?

[Jerry]

Przeanalizuj, proszę, zapisane przeze mnie wyrazy ciągu (ponumeruj je!) i zauważone fakty!

Pozdrawiam

[Tomaszak]

Nie to ja to widzę tylko nie wiem czy by mi zaliczyli jak bym tak zapisał dlatego dla pewności wole się zapytać.

[Jerry]

Ja bym w redakcji rozwiązania napisał:

Po wypisaniu początkowych wyrazów ciągu można zauważyć, że...

i podał ww fakty i odpowiedzi.

Pozdrawiam
PS. "Łatwo zauważyć" jest ryzykownym stwierdzeniem - a jeśli egzaminator nie zauważył

[edited]
Można wskazać iterację tego ciągu np. z wykorzystaniem funkcji floor, ale konkretnego pomysłu nie mam

[Jerry]

Można wskazać iterację tego ciągu np. z wykorzystaniem funkcji floor, ...

Miałem sen

Sprawdź czy pasuje wzór iteracyjny:
\[J_n=1+\left(n-2^{\left[\log_2n\right]}\right)\cdot2\text{ dla } n\in\nn_+\]
gdzie \([x]\) jest największą liczbą całkowitą niewiększą niż \(x\), czyli funkcją cechy (podłogi).

Pozdrawiam