długość odcinka w równoległoboku

[inter]

Niech \(ABCD\) będzie równoległobokiem. Niech \(M\) i \(N\) będą środkami odpowiednio \(CD\) i \(BC\). Niech punkt X należy do odcina AB oraz do okręgu opisanego na \(MAN\). Wiedząc że \(AB=150\), \(AD=90\) i \(\angle DAB=150^o\), oblicz długość \(AX\).

[Jerry]

Dla ułatwienia rachunków, rozpatrzmy równoległobok \(A'B'C'D'\) podobny do danego w skali \(1:15\).

1. Z \(\Delta A'B'N',\ \Delta D'A'M',\ \Delta M'N'C'\) i tw. Carnota:
   • \(|A'N'|^2=109-30\sqrt3\)
   • \(|A'M'|^2= 61-30\sqrt3\)
   • \(|M'N'|^2=34+15\sqrt3\)
2. Z \(\Delta A'N'M'\) i tw. Carnota:
   \(109-30\sqrt3=61-30\sqrt3+34+15\sqrt3-2\cdot\sqrt{61-30\sqrt3}\cdot\sqrt{34+15\sqrt3}\cdot\cos\angle A'M'N'\\
   \cos\angle A'M'N'=\frac{15\sqrt3-14}{2\cdot\sqrt{61-30\sqrt3}\cdot\sqrt{34+15\sqrt3}}=\ldots=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}\So |\angle A'M'N'|\nad{\color{red}{*}}{=}75^\circ\)
3. Na czworokącie \(A'X'N'M'\) jest opisany okrąg, zatem
   \(|\angle A'X'N'|=180^\circ-75^\circ=105^\circ\)
4. \(|\angle B'X'N'|=180^\circ-105^\circ=75^\circ=180^\circ-30^\circ-75^\circ=|\angle X'N'B'|\)
   czyli \(\Delta X'B'N'\) jest równoramienny i \(|X'B'|=|B'N'|=3\)
5. \(|A'X'|=10-3=7\)

Odpowiedź: \(|AX|=15\cdot7=105\)

*) Fakt:
\(\cos75^\circ=\cos(30^\circ+45^\circ)={\sqrt3\over2}\cdot{\sqrt2\over2}-{1\over2}\cdot{\sqrt2\over2}={\sqrt6-\sqrt2\over4}=\frac{\sqrt{(\sqrt6-\sqrt2)^2}}{4}=\frac{\sqrt{8-4\sqrt3}}{4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}\)

Pozdrawiam