liczby zespolone

[maxkor]

Niech \(1+2|z|^{2}=\left|z^{2}+1\right|^{2}+2|z+1|^{2}\). Które zdanie jest prawdziwe
\(A)|z|=1\)
\(B)|z|=2\)
\(C)|z(z+1)|=1\)
\(D)|z(z+1)|=2\)
?

[Jerry]

Idąc po linii najmniejszego oporu: niech \(z=a+bi\), wtedy dana równość jest równoważna
\[(a^2+b^2)^2+2(a+1)^2=2b^2\]
Jego jedynymi rzeczywistymi rozwiązaniami (wg Wolframa) są
\[\begin{cases}a=-{1\over2}\\b=\mp{\sqrt3\over2}\end{cases}\]
Wtedy zachodzą A i C.

Pozdrawiam