forum.zadania.info

Proszę sprawdzić metodą nie wprost, które z podanych formuł są tautologiami Klasycznego Rachunku Zdań
(czyli logiki klasycznej rzędu zerowego):
a) (𝛼 ∧ 𝛽) ⇒ (𝛼 ∨ 𝛽)
b) (𝛼 ⇒ ¬𝛽) ∧ (¬(𝛽 ∨ 𝛼))

Tautologia to prawo rachunku zdań - prawdziwe dla każdych wartości logicznych zdań atomowych w nim występujących.

Metoda nie wprost polega na dowodzeniu twierdzeń w oparciu o prawo rachunku rachunku zdań:

\( (p \Longrightarrow q ) \Longleftrightarrow [ (\sim q) \Longrightarrow (\sim p)] \ \ (1) \)

Z postaci tej równoważności wynika, że polega ona na zaprzeczeniu tezy i otrzymaniu nieprawdziwych założeń.

(a)
\( (\alpha \wedge \beta) \Longrightarrow (\alpha \vee \beta) \ \ (2)\)

Zakładamy, że implikacja \( (1) \) jest zdaniem fałszywym to znaczy:

\( w( p \wedge q) = 1 \) i \( w(p \vee q) = 0. \)

Stąd wynika, że następnik tej implikacji, czyli alternatywa zdań \( (\alpha \vee \beta) \) jest zdaniem fałszywym. To znaczy, że \( w(\alpha) = 0 \) i \( w(\beta) = 0. \)

Ale wtedy poprzednik implkacji jest zdaniem fałszywym \( w(p \wedge q) = 0 \), a z założenia miał być zdaniem prawdziwym. Otrzymaliśmy sprzeczność.

Na podstawie \( (1) \) stwierdzamy , że ta implikacja jest tautologią rachunku zdań.

Sprawdzenie metodą zero-jedynkową

Tabela
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\
w(\alpha) & w(\beta) & w(\alpha \wedge \beta) & w(\alpha \vee \beta) & w[\alpha \wedge \beta) \rightarrow (\alpha \vee \beta)] \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array} \)

Z ostatniej kolumny tabelki wynika, że ta implikacja jest tautologią rachunku zdań.

(b) - dowodzimy podobnie