Jak rozwiązać?

[JanKowalski333]

zad. 1) Proszę udowodnić, że dla dowolnych zbiorów 𝑋, 𝑌, 𝑍 zachodzi:
a) 𝑋 ∖ (𝑌 ∪ 𝑍) = (𝑋 ∖ 𝑌) ∖ 𝑍.

zad. 2) . Czy zbiór 𝑋 jest podzbiorem zbioru 𝑌 ?
a) 𝑋 = {𝑛 ∈ ℚ: 1|𝑛}, 𝑌 = ℚ.
b) 𝑋 = {𝑛 ∈ ℕ: ¬20|𝑛}, 𝑌 = {𝑛 ∈ ℕ: 20|𝑛}.

[janusz55]

zadanie 1
Z definicji różnicy zbiorów i Prawa de Morgana:
\( x\in X\setminus (Y\cup Z) \equiv x\in X \wedge x\notin (Y\cup Z) \equiv x \in X\wedge x\notin Y \wedge x\notin Z \equiv x\in (X\setminus Y) \wedge x \notin Z \equiv x\in (X\setminus Y)\setminus Z. \)

[janusz55]

Drugi sposób - metoda zero-jedynkowa

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \\
x\in X & x\in Y & x\in Z & x\in Y\cup Z & x\in X\setminus (Y\cup Z) & x\in X\setminus Y & x\in (X\setminus Y)\setminus Z \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array} \)

Teraz wystarczy porównać kolumnę piątą i ostatnią, aby przekonać się, że zachodzi równość \( X\setminus (Y \cup Z) = (X \setminus Y) \setminus Z, \) która w języku zdań logicznych oznacza to samo co w języku teorii mnogości. Zakładamy, że autor tego postu zna podstawowe prawa rachunku zdań.

Zadanie 2

Z definicji zawierania się zbiorów:
a)
\( (X = \{ n\in \qq : 1|n\}) \rightarrow (Y = \{ n: n\in \qq \} ) \) - prawda, bo odwrotności liczb wymiernych są liczbami wymiernymi.
\( X \subseteq Y.\)

b)
\( (X = \{ n\in \nn : -20|n \} )\nrightarrow Y = \{ n\in \nn : 20|n\}\), bo zbiór liczb naturalnych, które są dzielnikami liczby \( -20 \) nie zawiera się w zbiorze dzielników liczb naturalnych liczby \( 20.\). Są to dwa rozłączne zbiory.
\( X \nsubseteq Y. \)