Czy istnieje nieskończony ciąg?

[Luiza2]

Czy istnieje nieskończony ciąg liczb naturalnych \(a_1, a_2, a_3, . . . \) spełniający równanie
\( \frac{1}{a_n}= \frac{1}{a_{n+1}}+ \frac{1}{a_{n+2}} \)

[janusz55]

Niech \( a_{n} = n, \ \ a_{n+1} = n+1, \ \ a_{n+2} = n+2. \)

Czy równanie:

\( \frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \) ma rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych \( n \in \nn ?\)

\( \frac{1}{n} = \frac{n+2+ n+1}{(n+1)\cdot (n+2)}, \)

\( \frac{1}{n} = \frac{2n+3}{(n+1)\cdot (n+2)}, \)

\( n = \frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2n +3}, \)

\( 2n^2 +3n = (n+1)\cdot (n+2) = n^2 +2n +n + 2, \)

\( n^2 -2 = (n + \sqrt{2})\cdot (n-\sqrt{2}) = 0, \)

\( n_{1} = -\sqrt{2} \notin \nn \) i \( n_{2}= \sqrt{2} \notin \nn. \)

Odpowiedź: taki ciąg liczb naturalnych nie istnieje.

[Luiza2]

A dlaczego przyjął Pan za \(a_n=n\), \(a_{n+1}\), \(a_{n+2}=n+2\)?

[janusz55]

Bo tak oznacza się wyrazy ogólne ciągów kolejnych liczb naturalnych, które zawierały się w Pani równaniu.

[Luiza2]

A mógłby Pan napisać dlaczego tak jest i zkąd to się bierze? A nie można by zrobić tak \(a_n=n+2\), \(a_{n+1}=n+3\), \(a_{n+2}=n+4\)

[janusz55]

Przyjmuje się zwykle wzór ogólnym ciągu zgodny z indeksem na przykład \( a_{n} = n,\ \ a_{n+1} = n+1, \ \ itd. \)

Jeśli na przykład przyjmiemy \( a_{n} = n+2 \) to wyrazem pierwszym ciągu jest liczba \( a_{1} = 1+2 = 3 \) a nie liczba \( 1. \)

[Jerry]

Bo tak oznacza się wyrazy ogólne ciągów kolejnych liczb naturalnych, które zawierały się w Pani równaniu.

Ja tego nie zauważyłem w treści...

Pozdrawiam
PS.
\({1\over n}={1\over n+1}+{1\over n(n+1)}\)

[Luiza2]

\({1\over n}={1\over n+1}+{1\over n(n+1)}\)

O co z tym chodzi? Jaki to ma związek z treścią zadania? Możesz objaśnić?

Ja tego nie zauważyłem w treści...

Czyli moja uwaga była słuszna. Może tak być jak jak napisałam?

[Jerry]

\({1\over n}={1\over n+1}+{1\over n(n+1)}\)

O co z tym chodzi? Jaki to ma związek z treścią zadania? Możesz objaśnić?

Sprawdź jak zachowują się dane ułamki dla ciągów:

• \((a_n)=(3,4,12)\)
• \((a_n)=(2,3,6,6)\)

i przeanalizuj, czy można taki ciąg "przedłużyć" i to do pozaskończonej liczby wyrazów!

Ja tego nie zauważyłem w treści...

Czyli moja uwaga była słuszna. Może tak być jak jak napisałam?

Wg mnie - tak, była słuszna.

Pozdrawiam

[Luiza2]

Sprawdź jak zachowują się dane ułamki dla ciągów:

• \((a_n)=(3,4,12)\)
• \((a_n)=(2,3,6,6)\)
  i przeanalizuj, czy można taki ciąg "przedłużyć" i to do pozaskończonej liczby wyrazów!

Mógłbyś? Bo nie rozumiem jak mam to zrobić.

[Jerry]

Mógłbyś? Bo nie rozumiem jak mam to zrobić.

Przepraszam - nie umiem!

Pozdrawiam

[Luiza2]

Dobrze jeśli nie chcesz pisać gotowca dla mnie bo wiem że potrafisz to możesz wyjaśnić prościej, albo w krokach co mam z tym zrobić?

[Jerry]

Na mocy podanego przeze mnie faktu można stwierdzić, że dowolny ułamek o liczniku \(1\) można rozłożyć na sumę dowolnej liczby różnych ułamków o tej własności, np:
\({1\over2}={1\over3}+{1\over6}=\left({1\over4}+{1\over12}\right)+{1\over6}={1\over4}+{1\over12}+\left({1\over7}+{1\over42}\right)=\ldots\)
Ale... wg mnie nie istnieje (nie umiem wskazać!) ciąg spełniający warunki zadania!
W przykładach:

• \({1\over2}={1\over3}+{1\over6}\\
  {1\over3}={1\over6}+{1\over6}\\
  {1\over6}={1\over6}+\color{red}{0}\)
• \({1\over3}={1\over4}+{1\over12}\\
  {1\over4}={1\over12}+{1\over6}\\
  {1\over12}={1\over6}+\color{red}{{1\over-12}}\)
• \({1\over4}={1\over5}+{1\over20}\\
  {1\over5}={1\over20}+\color{red}{{3\over20}}\)

Pozdrawiam
PS. Liczyłem, że kerajs - nasz specjalista od równań rekurencyjnych - się odezwie ...

[janusz55]

Rozwiązanie zadania o ciągach liczb naturalnych - przypadek ogólny

\( \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}} \ \ (*)\)

Dowód metodą nie wprost:

Zakładamy, że istnieje ciąg \( a_{n}\) spełniający równanie \( (*) \)

Przekształcając równoważnie równanie \( (*) \) otrzymujemy równość \( a_{n+2}\cdot (a_{n+1} - a_{n}) = a_{n}\cdot a_{n+1},[ \) że różnica \( a_{n+1}- a_{n} \) jest podzielna przez \( NWD(a_{n}, a_{n+1}) \) i liczba \( a_{n+2}\) jest dzielnikiem liczby \( \frac{a_{n}\cdot a_{n+1}}{NWD(a_{n}, a_{n+1})}.\)

Niech \( d = NWW(a_{1}, a_{2}).\)

Wykażemy metodą indukcji , że \( a_{n}|d \) dla każdego \( n\geq 1.\)

Dla \( n = 1 , n=2 \) stwierdzenie to jest prawdziwe na mocy definicji liczby \( d.\)

Jeśli \( a_{n}|d \) i \( a_{n+1}|d \) dla \( n\geq 1, \) to liczba \( d \) jest wspólną wielokotnością liczb \( a_{n}\) i \( a_{n+1}. \) Jest więc podzielna przez \( NWW(a_{n}, a_{n+1}).\)

Stąd, skoro \( a_{n+2}| NWW(a_{n}, a_{n+1})\) wynika, że \( a_{n+2}|d.\)

Co należało sprawdzić.

Ciąg \( (a_{n}) \) jest rosnący. Stąd wynika, że liczba \( d \) ma nieskończenie wiele dzielników.

Otrzymaliśmy sprzeczność, że istnieje ciąg \( (a_{n}). \)

\(\Box\)