Dowód

[janiezadenziutek]

Udowodnij, że suma sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 3 jest liczbą nieparzystą podzielną przez 9. Po wymnożeniu i wyłączeniu 9 wyszło mi \(9(6n^3+9n^2+5n+1\)). Tylko jak udowodnić, że jest to liczba nieparzysta?

[janusz55]

Liczba \( 6n^3 +9n^2 +5n +1 = k \in \nn \) jest liczbą nieparzystą dla każdego \( n \) naturalnego. Trzeba to pokazać na przykład metodą indukcji,

Otrzymujemy liczbę \( 9\cdot k \in NPAR. \) - jako iloczyn dwóch liczb nieparzystych.

[janiezadenziutek]

a da się jakoś inaczej? niestety nie znam metody indukcji

[Jerry]

\(6n^3+9n^2+5n+1=6n^3+3n^2+6n^2+3n+2n+1=3n^2(2n+1)+3n(2n+1)+1\cdot(2n+1)=\\\quad=(2n+1)(3n^2+3n+1)=(2n+1)[3n(n+1)+1]\)
Ze znanych faktów:

• \(2\not\mid 2n+1\)
• \(2\mid n(n+1)\So 2\not\mid 3n(n+1)+1\)

jest to iloczyn liczb nieparzystych. CKD

Pozdrawiam

[janiezadenziutek]

ok dziękuję

[Luiza2]

A jak to zrobić metodą indukcji?

[janusz55]

Można też rozważyć wielomian zmiennej rzeczywistej.

\( f(x) = 6x^3 +9x^2 +5x + 1.\)

Pierwiastkiem wielomianu jest liczba \( - \frac{1}{2} \)

\( 6\cdot \left( -\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left( -\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left (-\frac{1}{2}\right) + 1 = 0.\)

Wykonać dzielenie:

\( (6x^3 +9x^2 +5x +1): \left(x +\frac{1}{2} \right) = 6x^2 +6x +2 \)

Zapisać w postać iloczynowej:

\( f(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)\cdot (6x^2+6x + 2) = (2x+1)(3x^2+3x+1) = (2x+1)\cdot [3x (x+1) +1]\)

\( 2x+1\in NPAR \) i \( 3x(x+1) \in PAR \) i \( 3x(x+1) + 1 \in PAR + \{1\} \)

Iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.

[Luiza2]

Może Pan podać rozwiązanie metodą indukcji, którą Pan zaproponował w pierwszym poście?

[janusz55]

Twierdzenie

\( T(n): \) " dla każdej liczby naturalnej \( n \) wielomian: \( f(n) = 6n^3 + 9n^2 +5n +1 \) przyjmuje wartości ze zbioru liczb nieparzystych \( NPAR".\)

Dowód indukcyjny:

Sprawdzenie indukcyjne:

\( n=1: \)

\( T(1): f(1) = 6\cdot 1^3+9\cdot 1^2 +5\cdot 1 +1 = 21\in NPAR \)

Założenie indukcyjne:

Załóżmy, że dla każdej liczby naturalnej \( n \) wielomian:

\( f(n) \in NPAR \)

Wykażemy, że wielomian \( f(n+1) \in NPAR \) (teza indukcyjna).

Krok indukcyjny:

\( T(n) \rightarrow T(n+1) \)

\( f(n) \in NPAR \rightarrow f(n+1) \in NPAR \)

\( (6n^3 +9n^2 +5n +1 \in NPAR) \rightarrow 6(n+1)^3 +9(n+1)^2 + 5(n+1) + 1 \in NPAR \)

Przekształcamy następnik implikacji:

\( 6(n^3+3n^2 +3n +1) + 9(n^2 + 2n +1) +5n +5 + 1 = 6n^3 +18n^2 +18n +6 +9n^2+18n +9 +5n +2 \)

Wydzielamy z sumy składników wielomian \( f(n):\)

\( 6n^3 + 9n^2 +5n +1 + 18n^2 +36n +16 = f(n) + g(n) \)

Otrzymaliśmy sumę dwóch wielomianów. Z założenia indukcyjnego wielomian \( f(n) \in NPAR. \)

Wystarczy zauważyć , że wielomian \( g(n) = 18n^2 + 36n + 16 \) dla każdego \( n\in \nn \) przyjmuje wartości ze zbioru \( PAR, \) jako suma trzech jednomianów o współczynnikach parzystych.

Suma dwóch liczb: parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą.

Wykazaliśmy, że:

\( (1) \) zdanie \( T(1) \) jest prawdziwe,

\((2)\) dla każdej liczby naturalnej \( n \) z prawdziwości zdania \( T(n) \) wynika prawdziwość zdania \( T(n+1).\)

Spełnione są więc założenia twierdzenia o zasadzie indukcji zupełnej, zatem dla każdego \( n \) naturalnego zdanie \( T(n) \) jest prawdziwe.
\( \Box \)

[Luiza2]

Nie powinno tutaj być \(...+6\) zamiast \(...+2\)?
\(6(n^3+3n^2 +3n +1) + 9(n^2 + 2n +1) +5n +5 + 1 = 6n^3 +18n^2 +18n +6 +9n^2+18n +9 +5n +6\)
Co prowadzi do:
\(6n^3+9n^2+5n+1+18n^2+36n+20\)
Więc wielomian \(g(n)=18n^2+36n+20\), również dla każdego \(n\in \nn \) przyjmuje wartości ze zbioru PAR

[janusz55]

Powinno być. Dziękuję za poprawienie błędu.