Okrąg opisany na trójkącie

[Jakośtak_21]

rozwazmy trojkaty rownoramienne w ktorych opisano okrag o promieniu 6 wyznacz dlugosc bokow tego trojkata ktory ma najwieksze pole oblicz to pole zapisz obliczenia, Rozważ dwa przypadki.

Bardzo prosze o pomoc

[radagast]

wskazówka:
uzależnij pole trójkąta od kata przy wierzchołku i wykorzystaj twierdzenie sinusów.
(wychodzi \( \alpha = \frac{ \pi }{3} \))
Zachodzę w głowę o jakie dwa przypadki chodzi autorowi zadania ... nie wiem.

[radagast]

z twierdzenia sinusów :\( \frac{a}{\sin ( \frac{\pi- \alpha }{2}) }=2R =12\)
\(\sin (\frac{\pi- \alpha }{2})=\sin ( \frac{\pi}{2} - \frac{ \alpha }{2} )=\cos \frac{ \alpha }{2} \)
czyli
\( \frac{a}{\cos \frac{ \alpha }{2} }=12\)
zatem
\(a=12\cos \frac{ \alpha }{2} \)


\(P(a, \alpha )= \frac{1}{2}a^2 \sin \alpha \)
\(P( \alpha )= \frac{144}{2}\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \sin \alpha =72\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \sin \alpha \), przy czym \( \alpha \in (0,\pi)\)
\(P'( \alpha )=72 [ 2\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot (-\sin \frac{ \alpha }{2} ) \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin \alpha +\cos^2 \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \alpha] =0 \iff \\
\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \alpha-\sin \frac{ \alpha }{2} \cdot \sin \alpha =0 \iff \\
\cos(\frac{ \alpha }{2} + \alpha )=0 \iff \\
\frac{3}{2} \alpha = \frac{ \pi }{2} \iff \\
\alpha = \frac{\pi}{3} \)

[Jakośtak_21]

Trojkat może być równoramienny ostrokątny lub rozwartokątny dlatego dwa przypadki

[radagast]

To nic nie zmienia. Moje rozważania są takie same dla trójkąta rozwartokątnego \(( \alpha \in (0,\pi) )\).

[Jakośtak_21]

A mógłbys wyjaśnić dlaczego sin jest( pi-Alfa)/2 ??

[Jerry]

Trojkat może być równoramienny ostrokątny lub rozwartokątny dlatego dwa przypadki

To proszę:

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku

   

2. Zauważmy, że trójkąty \(ABC,\ A_1B_1C\) mają jednakową podstawę - większe pole ma zatem trójkąt ostrokątny, bo ma dłuższą wysokość
3. \(|SM|=\sqrt{36-x^2}\So |MC|=6+\sqrt{36-x^2}\)
4. Funkcja pola optymalizowanego trójkąta ma postać \(y=f(x)={1\over2}\cdot2x\cdot(6+\sqrt{36-x^2})=6x+\sqrt{36x^2-x^4}\wedge D=(0;6)\)

Pozostaje pochodna, WKIE, WDIE...

Pozdrawiam
PS. Rozwiązanie radagast jest wg mnie przyjaźniejsze (co prawda ja zacząłbym od \(\alpha\) kąta przypodstawnego, tworząc funkcję pola: \(f(\alpha)=144\sin^3\alpha\cos\alpha\wedge D=(0;{\alpha\over2})\), ale to już niuans)

[Jerry]

A mógłbys wyjaśnić dlaczego sin jest( pi-Alfa)/2 ??

Przykro mi, nie rozumiem pytania

Pozdrawiam
PS. radagast jest kobietą!

[Jakośtak_21]

sin(𝜋−𝛼)/2

O to mi chodzi

[radagast]

A mógłbys wyjaśnić dlaczego sin jest( pi-Alfa)/2 ??

bo suma kątów w trójkącie to \(\pi\) oraz kąty przy podstawie są równe.