zadania z graniastosłupa i ostrosłupa

[kotrimek]

1. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(\sqrt{8}\) , a krawędź podstawy ma długość \(2\). Oblicz:
a) cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
b) sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawartą w sąsiedniej ścianie bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka
c) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej

2. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Wysokość tego graniastosłupa jest równa \(12\) cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha = 45^\circ\), a krótsza pod kątem \(\beta = 60 ^\circ\). Oblicz długość krawędzi podstawy.

3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(20\) cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę \(60 ^\circ\). Oblicz:
a) długość krawędzi bocznej
b) wysokość ostrosłupa
c) wysokość ściany bocznej

4.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(4 \sqrt{2}\) cm,
a krawędzi bocznej - \(5\) cm. Oblicz:
a) wysokość tego ostrosłupa
b) wysokość ściany bocznej poprowadzoną na krawędź podstawy
c) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej

[eresh]

1. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \sqrt{8} , a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz:
a) cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

\(\cos\alpha=\frac{2}{d}\\\)
d - przekątna ściany bocznej
\(d^2=a^2+h^2\\
d^2=4+8\\
d^2=12\\
d=2\sqrt{3}\\
\cos\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

[eresh]

1. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \sqrt{8} , a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz:

b) sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawartą w sąsiedniej ścianie bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka

\(ABC, DEF\) - podstawy graniastosłupa

trójkąt \(AFB\) jest równoramienny, szukany kąt to kąt \(ABF\)

\(\sin\beta=\frac{|FS|}{|FB|}\), gdzie \(S\) jest środkiem \(AB\)
\(|FS|^2+(0,5|AB|)^2=|BF|^2\\
|FS|^2+1=(2\sqrt{3})^2\\
|FS|^2=11\\
|FS|=\sqrt{11}\\
\sin\beta=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{33}}{6}
\)

[eresh]

1. Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(\sqrt{8}\) , a krawędź podstawy ma długość \(2\). Oblicz:

c) miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej

\(O\) - środek krawędzi \(DE\)
trójkąt \(FOB\) jest prostokątny
szukany kąt to kąt \(OBF\)

\(\sin\gamma=\frac{|FO|}{|BF|}\\
|FO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\\
\sin\gamma = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\\
\gamma=30^{\circ}\)

[eresh]

2. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Wysokość tego graniastosłupa jest równa \(12\) cm. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha = 45^\circ\), a krótsza pod kątem \(\beta = 60 ^\circ\). Oblicz długość krawędzi podstawy.

ABCD, EFGH - podstawy
\(|\angle GAC|=45^{\circ}\\
\tg 45^{\circ}=\frac{|GC|}{|AC|}\\
1=\frac{12}{|AC|}\\
|AC|=12\)

\(\tg 60^{\circ}=\frac{|DH|}{|BD|}\\
\sqrt{3}=\frac{12}{|DB|}\\
\sqrt{3}|BD|=12\\
|DB|=4\sqrt{3}\)

\((0,5|BD|)^2+(0,5|AC|)^2=a^2\\
(2\sqrt{3})^2+6^2=a^2\\
48=a^2\\
a=4\sqrt{3}\)

[eresh]

3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(20\) cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę \(60 ^\circ\). Oblicz:
a) długość krawędzi bocznej
b) wysokość ostrosłupa
c) wysokość ściany bocznej

a)
O - spodek wysokości
\(|OC|=\frac{1}{2}|AC|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 20\sqrt{2}=10\sqrt{2}\\
\cos 60^{\circ}=\frac{|C0|}{|SC|}\\
\frac{1}{2}=\frac{10\sqrt{2}}{|SC|}\\
|SC|=20\sqrt{2}\)


b)
\(H^2+|OC|^2=|SC|^2\\
H^2+200=800\\
H^2=600\\
H=10\sqrt{6}\)

c)
\(h^2+(0,5a)^2=|SC|^2\\
h^2+10^2=(20\sqrt{2})^2\\
h^2=800-100\\
h^2=700\\
h=10\sqrt{7}\)

[eresh]

4.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa \(4 \sqrt{2}\) cm,
a krawędzi bocznej - \(5\) cm. Oblicz:
a) wysokość tego ostrosłupa
b) wysokość ściany bocznej poprowadzoną na krawędź podstawy
c) odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej

a)
\(H^2+(0,5|AC|)^2=|SC|^2\\
|AC|=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8\\
H^2+4^2=5^2\\
H=3\)

b)
\(h^2+(0,5a)^2=|SC|^2\\
h^2+(2\sqrt{2})^2=5^2\\
h^2=25-8\\
h=\sqrt{17}\)

c)
trójkąt SOC jest prostokątny, szukana długość do wysokość trójkąta poprowadzona na przeciwprostokątną
\(x=\frac{|SO|\cdot |OC|}{|SC|}\\
x=\frac{3\cdot 4}{5}\\
x=\frac{12}{5}\)