indukcja, ćwiecznie

[anka]

jest przykład:

założenie \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)

http://www.matematyka.pl/215191.htm#p798433

znalazłam inny dowód tej nierówności z pierwiastkami:

\(\frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{n} } \ge \sqrt{n}\)

http://www.matematyka.pl/87241.htm#p326591

[MrVonzky]

chyba nikt nie ma pomysłu

[MrVonzky]

oo, nie zauważyłem, sprawdzam...

[MrVonzky]

do tego I:

jest tak:
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2}\)

ja zawsze z prawej strony dopisuję od razu (n+1) bez n w taki sposób:

\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{\left( n+1\right)}\)

jest to dobry zapis?

[MrVonzky]

mam pytanie: czy tym razem mój dowód jest przeprowadzony słusznie

\(1 \le 1\), ok
założenie indukcyjne: \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)
teza indukcyjna:\(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)

na mocy założenia

\(2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)
.
.
\(1 \ge 0\) jest prawdziwe

Z założenia wynika, że wzór jest prawdziwy, wykazałem słusznośc tego wzoru dla nastepnika licznu naturalnej. Korzsytając z ZIM stwierdzam, że nierównośc jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.

[anka]

jest tak:
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2}\)

To już jest dowód.
Lewa strona to lewa strona tezy, po prawej stronie skorzystano już z założenia + ostatni wyraz prawej strony tezy.

ja zawsze z prawej strony dopisuję od razu (n+1) bez n w taki sposób:

\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{\left( n+1\right)}\)

jest to dobry zapis?

Ten zapis wyżej to teza.

[anka]

mam pytanie: czy tym razem mój dowód jest przeprowadzony słusznie

\(1 \le 1\), ok
założenie indukcyjne: \(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} \le 2- \frac{1}{n}\)
teza indukcyjna:\(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{n^2} +\frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)

na mocy założenia

\(2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)
.
.
\(1 \ge 0\) jest prawdziwe

Z założenia wynika, że wzór jest prawdziwy, wykazałem słusznośc tego wzoru dla nastepnika licznu naturalnej. Korzsytając z ZIM stwierdzam, że nierównośc jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej n.

Na mocy założenia to mamy, że
\(\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2 } \le 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{\left( n+1\right)^2}\)

Wystarczy więc udowodnić:
\(2- \frac{1}{n}+ \frac{1}{(n+1)^2} \le 2-\frac{1}{n+1}\)

[irena]

Zrozumiałam, że trzeba pokazać, że
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\sqrt{n}\)

\(n=1\\L=\frac{1}{\sqrt{1}}=1\ge\sqrt{1}=P\)

\(Z.\\\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\ge\sqrt{n}\)

\(T.\\\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge\sqrt{n+1}\)

\(D.\\L=\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Obie strony są dodatnie, więc można podnieść je do kwadratu

\(L^2\ge n+\frac{1}{n+1}+2\sqrt{\frac{n}{n+1}}=\frac{n^2+n+1+2\sqrt{n(n+1)}}{n+1}>\frac{n^2+n+1+2\sqrt{n^2}}{n+1}=\frac{n^2+3n+1}{n+1}>\frac{n^2+2n+1}{n+1}=n+1\\L\ge\sqrt{n+1}\)

Nie wiem - o to chodziło?

[anka]

Chodziło też o rozwiązanie z linka
http://www.matematyka.pl/162314.htm#p604997
do obu stron nierówności dodawał inne wyrażenia.
Czy to jest poprawne?

[kamil13151]

Możesz napisać w tamtym wątku czy tak można, ale jestem (prawie) pewien, że można. Skoro pierwsza nierówność jest prawdziwa i dodamy do niej drugą również prawdziwą (o tym samym zwrocie) to nierówność powstała jest dalej prawdziwa, a tego mamy dowieść.

[irena]

Jeśli
\(\{a>b\\c>d\)
to na pewno prawdziwe jest
\(a+c>b+d\)

[anka]

Pierwszy raz miałam do czynienia z dowodem przeprowadzonym w ten sposób.
Całe życie człowiek się uczy
Dzięki za zainteresowanie.

[MrVonzky]

czyli Aniu jednak można tak sobie dodawać, to mnie pociesza

[Galen]

http://www.matematyka.pl/162314.htm#p604997

Anka,zauważ że tam jest błąd chyba w zapisie...Do obu stron powinno się dodać to samo.
Po lewej dodano \(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) to i tyle trzeba dodać po prawej stronie.
Prawa ma postać:
\(\sqrt{n}+\frac{1}{ \sqrt{n+1} }= \frac{ \sqrt{n(n+1)}+1 }{ \sqrt{n+1} } \ge \frac{ \sqrt{n^2}+1 }{ \sqrt{n+1} }= \frac{n+1}{ \sqrt{n+1} }= \sqrt{n+1}\)
Teraz można stwierdzić,że teza indukcyjna jest udowodniona.
Zatem dla \(n \ge 1\;\;\;jest\;\;\; \frac{1}{ \sqrt{1} }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{n} }+ \frac{1}{ \sqrt{n+1} } \ge \sqrt{n+1}\)

[MrVonzky]

nie rozumiem już... to w końcu jest to dobry dowód czy nie? Można tak sobie operować i dodawać czy nie?