Układy równań , całkowite rozwiazania

[Student46]

Sprawdzić , czy istnieje całkowite rozwiązanie równań:
a) \(21x\equiv12(mod\ 15)\)
b) \(21x\equiv12(mod\ 14)\)
c) \(15x\equiv21(mod\ 12)\)
d) \(15x\equiv37(mod\ 20)\)
e) \(12x\equiv9(mod\ 21)\)
f) \(12x\equiv9(mod\ 16)\)

W przypadku gdy istnieje podać rozwiązanie i poszukać największego rozwiązania ujemnego.

[octahedron]

\(a)
21x\equiv12 \pmod{15}
NWD(21,12,15)=NWD(21,15)
7x\equiv 4\pmod{5}
2x\equiv 4\pmod{5}
2^{-1}\equiv 3\pmod{5}
6x\equiv 12\pmod{5}
x\equiv 2\pmod{5}
x=5k+2
x=-3\)

[octahedron]

\(b)
21x\equiv12 \pmod{14}
NWD(21,12,14)\ne NWD(21,14)\)

nie ma rozwiązania

[octahedron]

\(c)
15x\equiv21 \pmod{12}
NWD(15,21,12)=NWD(15,12)
5x\equiv 7 \pmod{4}
x\equiv 3 \pmod{4}
x=4k+3
x=-1\)

[octahedron]

\(d)
15x\equiv 37\pmod{20}
NWD(15,37,20)\ne NWD(15,20)\)

nie ma rozwiązania

[octahedron]

\(e)
12x\equiv 9\pmod{21}
NWD(12,9,21)=NWD(12,21)
4x\equiv 3\pmod{7}
4^{-1}\equiv 2\pmod{7}
8x\equiv 6\pmod{7}
x\equiv -1\pmod{7}
x=7k-1
x=-1\)

[octahedron]

\(f)
12x\equiv 9\pmod{16}
NWD(12,9,16)\ne NWD(12,16)\)

nie ma rozwiązania