zad 1
ile wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym \(An= n^2-7n-30\) jest liczbami ujemnymi ??
zad 2
Ciąg An określany jest wzorem. Wyraz w zależności od n różnicę:
a) An+1-An
b) A2n-an
zad 3
zbadaj monotoniczność ciągu
a)\(an=n^2-2n-5\)
b) \(an= \frac{n+3}{n+2}\)
c) \(an= \frac{2n^2}{n^2+1}\)
d) \(an=n^2-9n-5\)
zad 4
podaj wzór 5-wyrazowego ciągu
a) 1 ,8, 27 ,64 ,125
b) \(\frac{1}{2} \frac{4}{3} \frac{9}{4} \frac{16}{5} \frac{25}{6}\)
c)\(\frac{1}{3} \frac{2}{5} \frac{3}{7} \frac{4}{9} \frac{5}{11}\)
zadania-ciag arytmetyczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
[Lufcik]
- Rozkręcam się
- Posty: 62
- Rejestracja: 25 kwie 2009, 14:57
- Podziękowania: 5 razy
- Otrzymane podziękowania: 24 razy
- Płeć:
1.
\(n^2-7n-30<0\)
\(\Delta =169\)
\(x1= \frac{7+13}{2} \vee \ x2= \frac{7-13}{2}\)
\(x1=10, x2=-3\)
Szkicujesz wykres, zaznaczasz na osi x1,x2 i odczytujesz kiedy wykres leży pod osią. W sumie jest 9 takich wyrazów
\(n^2-7n-30<0\)
\(\Delta =169\)
\(x1= \frac{7+13}{2} \vee \ x2= \frac{7-13}{2}\)
\(x1=10, x2=-3\)
Szkicujesz wykres, zaznaczasz na osi x1,x2 i odczytujesz kiedy wykres leży pod osią. W sumie jest 9 takich wyrazów
Nie zawsze możesz dostać to, czego chcesz. Ale jak się okazuje, jeśli się czasem postarasz,
to dostajesz to, czego potrzebujesz.
to dostajesz to, czego potrzebujesz.
-
[Lufcik]
- Rozkręcam się
- Posty: 62
- Rejestracja: 25 kwie 2009, 14:57
- Podziękowania: 5 razy
- Otrzymane podziękowania: 24 razy
- Płeć:
3a
Załóżmy że ciąg jest rosnący, więc a(n+1)-a(n)>0
\((n+1)^2-2(n+1)-5-(n^2-2n-5)>0\)
\(n^2+2n+2-2n-2-5-n^2+2n+5>0\)
\(2n>0\)
Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, więc ciąg jest rosnący
Reszta w sposób analogiczny
Załóżmy że ciąg jest rosnący, więc a(n+1)-a(n)>0
\((n+1)^2-2(n+1)-5-(n^2-2n-5)>0\)
\(n^2+2n+2-2n-2-5-n^2+2n+5>0\)
\(2n>0\)
Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, więc ciąg jest rosnący
Reszta w sposób analogiczny
Nie zawsze możesz dostać to, czego chcesz. Ale jak się okazuje, jeśli się czasem postarasz,
to dostajesz to, czego potrzebujesz.
to dostajesz to, czego potrzebujesz.
[Lufcik] pisze:3a
Załóżmy że ciąg jest rosnący, więc a(n+1)-a(n)>0
\((n+1)^2-2(n+1)-5-(n^2-2n-5)>0\)
\(n^2+2n+2-2n-2-5-n^2+2n+5>0\)
\(2n>0\)
Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, więc ciąg jest rosnący
Reszta w sposób analogiczny
czyli w tym zad mowimy sprawdzac na <pale> czy ciag jest rosnacy czy malejacy???
W zad. 3.
Żeby zbadać, czy ciąg jest monotoniczny, trzeba wyznaczyć wzór wyrazu \(a_{n+1}\) i obliczyć różnicę \(a_{n+1}-a_n\)
- Jeśli ta różnica jest dodatnia dla każdej liczby n naturalnej dodatniej, to ciąg jest rosnący
- Jeśli ta różnica jest zawsze ujemna, to ciąg jest malejący
- Jeśli znak różnicy zależy od numeru n, to ciąg nie jest monotoniczny
a)
\(a_n=n^2-2n-5\\a_{n+1}=(n+1)^2-2(n+1)-5=n^2+2n+1-2n-2-5=n^2-6\\a_{n+1}-a_n=n^2-6-n^2+2n+5=2n-1\)
Jeśli \(n\in N_+\) , czyli \(n\in N\ \ i\ \ n\ge1\), to 2n-1>0.
Wniosek- ten ciąg jest rosnący
Żeby zbadać, czy ciąg jest monotoniczny, trzeba wyznaczyć wzór wyrazu \(a_{n+1}\) i obliczyć różnicę \(a_{n+1}-a_n\)
- Jeśli ta różnica jest dodatnia dla każdej liczby n naturalnej dodatniej, to ciąg jest rosnący
- Jeśli ta różnica jest zawsze ujemna, to ciąg jest malejący
- Jeśli znak różnicy zależy od numeru n, to ciąg nie jest monotoniczny
a)
\(a_n=n^2-2n-5\\a_{n+1}=(n+1)^2-2(n+1)-5=n^2+2n+1-2n-2-5=n^2-6\\a_{n+1}-a_n=n^2-6-n^2+2n+5=2n-1\)
Jeśli \(n\in N_+\) , czyli \(n\in N\ \ i\ \ n\ge1\), to 2n-1>0.
Wniosek- ten ciąg jest rosnący
c)
\(a_n=\frac{2n^2}{n^1+1}\\a_{n+1}=\frac{2(n+1)^2}{(n+1)^2+1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{2(n+1)^2}{(n+1)^2+1}-\frac{2n^2}{n^2+1}=\frac{2(n+1)^2(n^2+1)-2n^2[(n+1)^2+1]}{(n^2+1)[(n+1)^2+1]}\)
Dla każdej naturalnej liczby n mianownik jest dodatni.
Zbadać trzeba znak licznika:
\(2(n+1)^2(n^2+1)-2n^2(n+1)^2-2n^2=2(n^2+1)[(n+1)^2-n^2]-2n^2=(2n^2+2)(2n+1)-2n^2=4n^3+2n^2+4n+2-2n^2=4n^3+4n+2\\n\in N_+\)
Licznik jest dodatni.
Czyli: \(a_{n+1}-a_n>0\)
Wniosek: ciąg jest rosnący.
\(a_n=\frac{2n^2}{n^1+1}\\a_{n+1}=\frac{2(n+1)^2}{(n+1)^2+1}\\a_{n+1}-a_n=\frac{2(n+1)^2}{(n+1)^2+1}-\frac{2n^2}{n^2+1}=\frac{2(n+1)^2(n^2+1)-2n^2[(n+1)^2+1]}{(n^2+1)[(n+1)^2+1]}\)
Dla każdej naturalnej liczby n mianownik jest dodatni.
Zbadać trzeba znak licznika:
\(2(n+1)^2(n^2+1)-2n^2(n+1)^2-2n^2=2(n^2+1)[(n+1)^2-n^2]-2n^2=(2n^2+2)(2n+1)-2n^2=4n^3+2n^2+4n+2-2n^2=4n^3+4n+2\\n\in N_+\)
Licznik jest dodatni.
Czyli: \(a_{n+1}-a_n>0\)
Wniosek: ciąg jest rosnący.
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Nie,bo nie masz pewności co będzie z wyrazem \(a_{200},a_{201},a_{203},...\)
Bada się czy KAŻDY wyraz następny jest większy od poprzedniego.
A Ty sprawdzasz trzy początkowe wyrazy,a nie wszystkie.
Jak przeprowadzisz badanie monotoniczności,to możesz się upewnić obliczając kilka kolejnych
wyrazów.
Bada się czy KAŻDY wyraz następny jest większy od poprzedniego.
A Ty sprawdzasz trzy początkowe wyrazy,a nie wszystkie.
Jak przeprowadzisz badanie monotoniczności,to możesz się upewnić obliczając kilka kolejnych
wyrazów.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Przykład d dobrze ilustruje to co wyżej napisałem.
d)
\(a_n=n^2-9n-5\\
a_{n+1)=(n+1)^2-9(n+1)-5=n^2+2n+1-9n-9-5=n^2-7n-13\\
a_{n+1}-a_n=n^2-7n-13-n^2+9n+5=2n-8\\
2n-8>0\;\;\;\;dla\;\;\;n>4\)
Ciąg jest zatem rosnący począwszy od piątego wyrazu,natomiast wyrazy \(a_1,a_2,a_3\) maleją.
\(2n-8<0\;\;\;dla\;\;n<4\)
Wypisywanie trzech początkowych wyrazów nie daje odpowiedzi o monotoniczności tego ciągu.
Trzeba jednak badać dla wszystkich n naturalnych.
d)
\(a_n=n^2-9n-5\\
a_{n+1)=(n+1)^2-9(n+1)-5=n^2+2n+1-9n-9-5=n^2-7n-13\\
a_{n+1}-a_n=n^2-7n-13-n^2+9n+5=2n-8\\
2n-8>0\;\;\;\;dla\;\;\;n>4\)
Ciąg jest zatem rosnący począwszy od piątego wyrazu,natomiast wyrazy \(a_1,a_2,a_3\) maleją.
\(2n-8<0\;\;\;dla\;\;n<4\)
Wypisywanie trzech początkowych wyrazów nie daje odpowiedzi o monotoniczności tego ciągu.
Trzeba jednak badać dla wszystkich n naturalnych.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.